题目内容

【题目】如图,过边长为8的等边的边AB上一点P,作 延长线上一点,当时,连接边于,则的长为________

【答案】

【解析】过P作PF∥BC交AC于F,得出等边三角形APF,推出AP=PF=QC,根据等腰三角形性质求出EF=AE,证△PFD≌△QCD,推出FD=CD,推出DE=AC即可.

解:如图,过P作PF∥BC交AC于F,


∵PF∥BC,△ABC是等边三角形,
∴∠PFD=∠QCD,∠APF=∠B=60°,∠AFP=∠ACB=60°,∠A=60°,
∴△APF是等边三角形,∴AP=PF=AF,
∵PE⊥AC,∴AE=EF,
∵AP=PF,AP=CQ,∴PF=CQ,
在△PFD和△QCD中
∠PFD=∠QCD,∠PDF=∠CDQ,PF=CQ,

∴△PFD≌△QCD,∴FD=CD,
∵AE=EF,∴EF+FD=AE+CD,∴AE+CD=DE=AC,
∵AC=8,∴DE=4,
故答案为:4.

“点睛”本题综合考查了全等三角形的性质和判定,等边三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,平行线的性质等知识点的应用,能综合运用性质进行推理是解此题的关键,通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力,题型较好,难度适中.

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