Question

【题目】如图，直线与轴，轴分别交于两点，动点在线段上移动（与不重合），以为顶点作交轴于点．

（1）求点和点的坐标；

（2）求证：．

（3）是否存在点使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，或

【解析】

（1）令x=0，即可得到点A坐标，令y=0，即可得到点B坐标；

（2）由（1）可知△AOB是等腰直角三角形，再根据三角形的外角的性质即可得到∠OPQ+∠BPQ=∠AOP+∠OAP，结合即可证明；

（3）分两种情况讨论，①如图1，当∠OPQ=45°为底角时，得到∠PQO=90°，PQ=OQ，设P（a,a），代入y=-x+1中即可求出P的坐标；②如图2，当∠OPQ=45°为顶角时，根据（2）中结论证明△OAP≌△PBQ（AAS），得到AO=BP=1，利用锐角三角形函数求出PM，OM即可解答．

解：（1）对于y=-x+1，

当x=0时，y=1，当y=0时，x=1，

∴

（2）∵，

∴OA=OB=1，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

∵∠OPB是△AOP的外角，

∴∠OPB=∠AOP+∠OAP，即∠OPQ+∠BPQ=∠AOP+∠OAP，

又∵，

∴；

（3）存在，

①如图1，当∠OPQ=45°为底角时，

则∠OPQ=∠POQ=45°，

∴∠PQO=90°，PQ=OQ，

设P（a,a），代入y=-x+1中得，a=-a+1，解得：，

∴

②如图2，当∠OPQ=45°为顶角时，过点P作PM⊥OB于点M，

则OP=PQ，

又∵∠OAP=∠PBQ=45°，∠AOP=∠BPQ，

∴△OAP≌△PBQ（AAS），

∴AO=BP=1，

∵∠PBM=45°，∠PMB=90°，

∴PM=BM=，

∴OM=，

∴P

综上所述，点P的坐标为或．