Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r（r＞1），P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，B，满足|PA﹣PB|=2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图为⊙C及其“完美点”P的示意图．

（1）当⊙O的半径为2时，

①在点M，N（0，1），T中，⊙O的“完美点”是　 　；

②若⊙O的“完美点”P在直线y=x上，求PO的长及点P的坐标；

（2）⊙C的圆心在直线y=x+1上，半径为2，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①N，T；②PO的长为1，点P的坐标为或；（2）

【解析】

（1）①利用圆的“完美点”的定义直接判断即可得出结论；

②先根据圆的“完美点”的定义列出方程求解，再将P点分为在第一象限和第三象限两种情况即得．

（2）先确定圆的“完美点”的轨迹，再确定取极值时⊙C与y轴的位置关系即得．

解：（1）①∵点M

∴设⊙O与x轴的交点为A，B

∵⊙O的半径为2

∴取A（﹣2，0），B（2，0）

∴

∴点M不是⊙O的“完美点”，同理可得：点N，T是⊙O的“完美点”．

故答案为：N，T；

②如图1：

根据题意，

∴

∴OP=1

若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q

∵点P在直线上

∴设

∴，

∵OP=1，

∴OQ=，PQ=

∴

若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为

综上所述，PO的长为1，点P的坐标为或．

（2）对于⊙C的任意一个“完美点”P都有

∴

∴CP=1

∴对于任意的点P，满足CP=1，都有，即

故对于任意的点P，满足CP=1时点P为⊙C的“完美点”．

因此，⊙C的“完美点”构成以点C为圆心，1为半径的圆．

设直线与y轴交于点D，如图2：

当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小．

设切点为E，连接CE

∴

∵⊙C的圆心在直线上

∴此直线和y轴，x轴的交点分别是D（0，1），F

∴OF=，OD=1

∵

∴CE∥OF

∴

∴

∴

∴DE=

∴OE=

∴t的最小值为．

当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大．

同理可得：t的最大值为

综上所述，t的取值范围为