题目内容
【题目】如图，在平行四边形
中，
， 
，
，
， 垂足为
，在平行四边形的边上有一点
，且
.将平行四边形折叠，使点
与点合，折痕所在直线与平行四边形交于点
、
．
（1）求
的长；
（2）请补全图形并求折痕
的长．
【答案】（1）
；（2）补全图形见解析；折痕
的长为5或
．
【解析】
（1）在Rt△ADE中，
，
，求得
，再根据勾股定理即可求解；
（2）分点O在AB和AD两类讨论，当点
在
上时，可得
是等边三角形.求得
；点点O在AD上时，过点
、分别作
， 
，
垂足分别为
、
， 连接
，
.求出
，
，
，
根据折叠性质，结合勾股定理，求出
，进而求出
，利用面积法即可求得
．
(1)∵，，
，
∴
.
∴
.
∴
.
（2）如图1所示，当点在上时，
∵
， 
，
∴
.
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
，
.
∴
.
∵将平行四边形折叠，使点
与点重合，
∴折痕垂直平分
，即
，
.
∵折痕与平行四边形的边交于点，
∴点
与点重合.
∵，
∴
.
∴
.
∴
.
∵
，
∴是等边三角形.
∴
.
如图2所示，当点在
上时，
过点、分别作， ，
垂足分别为、， 连接，.
∵四边形是平行四边形，，
∴
，，
∴
，
∵， ，
∴.
∵在
中，
，
∴
.
∴
，
.
∴在
中，
，
由折叠可知，
，.
∴在
中，
，
即
.
∴.
∴，
，
∴
.
∴四边形
为矩形.
∴，
∵
，
∴
∴.
综上所述，折痕的长为5或.
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