题目内容
【题目】如图，ABCD的对角线相交于点O，将线段OD绕点O旋转，使点D的对应点落在BC延长线上的点E处，OE交CD于H，连接DE．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）若OE⊥CD，求证：2CEOE=CDDE；
（3）若OE⊥CD，BC=3，CE=1，求线段AC的长．
【答案】
（1）
证明：由旋转可知OE=OD，
∴∠ODE=∠OED，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC
∴OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE，
∵∠BDE+∠DBE+∠BED=180°，
∴∠ODE+∠OED+∠OEB+∠OBE=180°
∴∠OED+∠OEB=90°，
即∠DEB=90°，
∴DE⊥BC；
（2）
解：∵OE⊥CD，
∴∠CHE=90°，
∴∠CDE+∠OED=90°
∵∠OED+∠OEB=90°，
∴∠CDE=∠OEB
∵∠OEB=∠OBE，
∴∠CDE=∠OBE，
∵∠CDE=∠OBE，∠CED=∠DEB，
∴△CDE∽△DBE
∴ 
= 
，即CEBD=CDDE，
∵OE=OD，OB=OD，BD=OB+OD，
∴BD=2OE，
∴2CEOE=CDDE；
（3）
解：∵BC=3，CE=1，
∴BE=4
由（2）知，△CDE∽△DBE
∴ = 
，即DE2=CEBE=4，
∴DE=2，
过点O作OF⊥BE，垂足为F，
∵OB=OE，
∴BF=EF= 
BE=2，
∴CF=EF﹣CE=1
∵OB=OD，BE=EF，
∴OF= DE=1，
在Rt△OCF中，OC= 
= 
= 
，
∴AC=2OC=2 ．
【解析】（1）由旋转的性质得到OE=OD，根据等腰三角形的性质得到∠ODE=∠OED，根据平行四边形的性质得到OB=OD，OA=OC等量代换得到OB=OE，推出∠DEB=90°，根据垂直的定义得到结论；（2）由垂直的定义得到∠CHE=90°，根据余角的性质得到∠CDE=∠OEB等量代换得到∠CDE=∠OBE，根据相似三角形的性质得到CEBD=CDDE，等量代换即可得到结论；（3）根据相似三角形的性质得到DE2=CEBE=4，求得DE=2，过点O作OF⊥BE，垂足为F，根据等腰三角形的想知道的BF=EF= BE=2，根据勾股定理即可得到结论．
【考点精析】掌握勾股定理的概念和平行四边形的性质是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．
