题目内容
【题目】如图,直线y=﹣x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是第一象限抛物线上的一点,连接PA、PB、PO,若△POA的面积是△POB面积的倍.
①求点P的坐标;
②点Q为抛物线对称轴上一点,请直接写出QP+QA的最小值;
(3)点M为直线AB上的动点,点N为抛物线上的动点,当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点M的坐标.
【答案】(1) y=﹣x2+x+1;(2)①P(,1);② ;(3)满足条件的点M的坐标(1+,(1﹣))或(1﹣,﹣(1+))或(1, )或M(﹣(1+),(3+))或M(﹣(1﹣),(3﹣)).
【解析】
试题分析:(1)先确定出点A,B坐标,再用待定系数法求出抛物线解析式;(2)设出点P的坐标,①用△POA的面积是△POB面积的倍,建立方程求解即可;②利用对称性找到最小线段,用两点间距离公式求解即可;(3)分OB为边和为对角线两种情况进行求解,①当OB为平行四边形的边时,用MN∥OB,表示和用MN=OB,建立方程求解;②当OB为对角线时,OB与MN互相平分,交点为H,设出M,N坐标用OH=BH,MH=NH,建立方程组求解即可.
试题解析:(1)∵直线y=﹣x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴A(2,0),B(0,1),
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点,
∴ ,
∴
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+1,
(2)①由(1)知,A(2,0),B(0,1),
∴OA=2,OB=1,
由(1)知,抛物线解析式为y=﹣x2+x+1,
∵点P是第一象限抛物线上的一点,
∴设P(a,﹣a2+a+1),((a>0,﹣a2+a+1>0),
∴S△POA=OA×Py=×2×(﹣a2+a+1)=﹣a2+a+1
S△POB=OB×Px=×1×a=a
∵△POA的面积是△POB面积的倍.
∴﹣a2+a+1=×a,
∴a=或a=﹣(舍)
∴P(,1);
②如图1,
由(1)知,抛物线解析式为y=﹣x2+x+1,
∴抛物线的对称轴为x= ,抛物线与x轴的另一交点为C(﹣,0),
∵点A与点C关于对称轴对称,
∴QP+QA的最小值就是PC= ;
(3)①当OB为平行四边形的边时,MN=OB=1,MN∥OB,
∵点N在直线AB上,
∴设M(m,﹣m+1),
∴N(m,﹣m2+m+1),
∴MN=|﹣m2+m+1﹣(﹣m+1)|=|m2﹣2m|=1,
Ⅰ、m2﹣2m=1,
解得,m=1±,
∴M(1+,(1﹣))或M(1﹣,(1+))
Ⅱ、m2﹣2m=﹣1,
解得,m=1,
∴M(1,);
②当OB为对角线时,OB与MN互相平分,交点为H,
∴OH=BH,MH=NH,
∵B(0,1),O(0,0),
∴H(0,),
设M(n,﹣n+1),N(d,﹣d2+d+1)
∴ ,
∴ 或,
∴M(﹣(1+),(3+))或M(﹣(1﹣),(3﹣));
即:满足条件的点M的坐标(1+,(1﹣))或(1﹣,﹣(1+))或(1, )或M(﹣(1+),(3+))或M(﹣(1﹣),(3﹣));
【题目】某单位欲从内部招聘管理人员一名,对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试,三人的测试成绩如下表所示:
测试项目 | 测试成绩(分) | ||
甲 | 乙 | 丙 | |
笔试 | 75 | 80 | 90 |
面试 | 93 | 70 | 68 |
根据录用程序,组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议,三人得票率(没有弃权票,每位职工只能推荐1人)如图所示,每得一票记作1分.
(1)请算出三人的民主评议得分.
(2)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选,那么谁将被录用(精确到0.01)?
(3)根据实际需要,单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4︰3︰3的比例确定个人成绩,那么谁将被录用?