题目内容

【题目】如图,直线y=﹣x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P是第一象限抛物线上的一点,连接PA、PB、PO,若POA的面积是POB面积的倍.

求点P的坐标;

点Q为抛物线对称轴上一点,请直接写出QP+QA的最小值;

(3)点M为直线AB上的动点,点N为抛物线上的动点,当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点M的坐标.

【答案】(1) y=﹣x2+x+1;(2)P(,1); (3)满足条件的点M的坐标(1+(1﹣或(1﹣,﹣(1+或(1, )或M(﹣(1+),(3+))或M(﹣(1﹣),(3﹣)).

【解析】

试题分析:(1)先确定出点A,B坐标,再用待定系数法求出抛物线解析式;(2)设出点P的坐标,POA的面积是POB面积的倍,建立方程求解即可;利用对称性找到最小线段,用两点间距离公式求解即可;(3)分OB为边和为对角线两种情况进行求解,当OB为平行四边形的边时,用MNOB,表示和用MN=OB,建立方程求解;当OB为对角线时,OB与MN互相平分,交点为H,设出M,N坐标用OH=BH,MH=NH,建立方程组求解即可.

试题解析:(1)直线y=﹣x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,

A(2,0),B(0,1),

抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点,

抛物线解析式为y=﹣x2+x+1,

(2)由(1)知,A(2,0),B(0,1),

OA=2,OB=1,

由(1)知,抛物线解析式为y=﹣x2+x+1,

点P是第一象限抛物线上的一点,

设P(a,﹣a2+a+1),((a0,﹣a2+a+10),

SPOA=OA×Py=×2×a2+a+1)=a2+a+1

SPOB=OB×Px=×1×a=a

∵△POA的面积是POB面积的倍.

﹣a2+a+1=×a,

a=或a=﹣(舍)

P(,1);

如图1,

由(1)知,抛物线解析式为y=﹣x2+x+1,

抛物线的对称轴为x= ,抛物线与x轴的另一交点为C(﹣,0),

点A与点C关于对称轴对称,

QP+QA的最小值就是PC=

(3)当OB为平行四边形的边时,MN=OB=1,MNOB,

点N在直线AB上,

设M(m,﹣m+1),

N(m,﹣m2+m+1),

MN=|﹣m2+m+1﹣(﹣m+1)|=|m2﹣2m|=1,

Ⅰ、m2﹣2m=1,

解得,m=1±

M(1+(1﹣))或M(1﹣(1+))

Ⅱ、m2﹣2m=﹣1,

解得,m=1,

M(1,);

当OB为对角线时,OB与MN互相平分,交点为H,

OH=BH,MH=NH,

B(0,1),O(0,0),

H(0,),

设M(n,﹣n+1),N(d,﹣d2+d+1)

M(﹣(1+),(3+或M(﹣(1﹣),(3﹣

即:满足条件的点M的坐标(1+(1﹣或(1﹣,﹣(1+或(1, )或M(﹣(1+),(3+))或M(﹣(1﹣),(3﹣));

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