Question

【题目】如图，在ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．

（1）求证：△AED≌△CFB
（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵平行四边形ABCD，∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°，∴∠ADE=∠CBF，

在△AED和△CFB中，， ∴△AED≌△CFB（ASA）

（2）

证明：作DH⊥AB，垂足为H，在Rt△ADH中，∠A=30°，∴AD=2DH，在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH，∴四边形EBFD为平行四边形，

∴FD=EB，∴DA=DF．

【解析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证；（2）过D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD=2DH，在直角三角形DEB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB=2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB=DF，等量代换即可得证．
【考点精析】通过灵活运用含30度角的直角三角形和平行四边形的判定与性质，掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积即可以解答此题．