Question

如图，?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=

5

，对角线BD、AC交于点O．将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F．
（1）试说明在旋转过程中，AF与CE总保持相等；
（2）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能请说明理由；如果能，求出此时AC绕点O顺时针旋转的角度．

Answer 1

（1）在?ABCD中，AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
在△AOF和△COE中，

∠1=∠2 OA=OC ∠3=∠4

，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE；

（2）由题意，∠AOF=90°（如图2），
又∵AB⊥AC，
∴∠BAO=90°，
∠AOF=90°，
∴∠BAO=∠AOF，
∴AB∥EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
即：AF∥BE，
∵AB∥EF，AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；

（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形（如图3）．
∵?ABCD，AF=CE，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DF∥BE，DF=BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴?BEDF是菱形，
∵AB⊥AC，
∴在△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC²=AB²+AC²，
∵AB=1，BC=

5

，
∴AC=

BC2-AB2

=

5 2-12

=2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=

1

2

AC=

1

2

×2=1，
∵在△AOB中，AB=AO=1，∠BAO=90°，
∴∠1=45°，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=90°，
∴∠2=∠BOF-∠1=90°-45°=45°，
即：旋转角为45°．