题目内容
如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．
1.求抛物线的解析式；
2.若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？
3.当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？
1.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=AB=4．
∴A（4，2），B（0，2），C（－4，0）．
∵抛物线y=ax2+bx+c过点B，∴c=2．
由题意，有
解得
∴所求抛物线的解析式为
．
2.将抛物线的解析式配方，得
．
∴抛物线的对称轴为x=2．
∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）．
欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE．即BP=FQ．
∴t=6－3t，即t=
．
3.欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，∴有
或
，
即PB=OQ或OB2=PB·QO．
①若P、Q在y轴的同侧．当PB=OQ时，t=8－3t，∴t=2．
当OB2=PB·QO时，t(8－3t)=4，即3t2－8t+4=0．
解得
．
②若P、Q在y轴的异侧．当PB=OQ时，3t－8=t，∴t=4．
当OB2=PB·QO时，t(3t－8)=4，即3t2－8t－4=0．解得
．
∵t=
<0．故舍去，∴t=
．
∴当t=2或t=
或t=4或t=秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似．
解析:（1）根据AB、OB的长，即可得到A、B点的坐标；由于四边形ABCO是平行四边形，则AB=OC，由此可求出OC的长，即可得到C点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可求出D点的坐标及抛物线的对称轴方程，进而可求出E、F的坐标；若四边形POQE是等腰梯形，则OP=EQ，而OB=EF，可得BP=FQ，根据这个等量关系即可求出t的值；
（3）由于∠PBO、∠QOB都是直角，对应相等，若以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，则有两种情况：
①P、Q在y轴同侧，②P、Q在y轴两侧；
每种情况又分为△PBO∽△QOB（此时两者全等），△PBO∽△BOQ两种情况；根据不同的相似三角形所得到的不同的比例线段即可求出t的值．
怎样学好牛津英语系列答案
如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直平分于点O，设AC=2a，BD=2b，请推导这个四边形的性质．（至少3条）
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
如图，四边形ABCD，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求∠ADC的度数．
如图，四边形ABCD为正方形，E是BC的延长线上的一点，且AC=CE，求∠DAE的度数．