题目内容

【题目】请阅读下列材料:

问题:如图,在正方形和平行四边形中,点在同一条直线上,是线段的中点,连接

探究:当的夹角为多少度时,平行四边形是正方形?

小聪同学的思路是:首先可以说明四边形是矩形;然后延长于点,构造全等三角形,经过推理可以探索出问题的答案.

请你参考小聪同学的思路,探究并解决这个问题.

(1)求证:四边形是矩形;

(2)的夹角为________度时,四边形是正方形.

理由:

【答案】(1)详见解析;(2)90.

【解析】

(1)由正方形ABCD,易得∠EBG=90°,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形,即可证得四边形BEFG是矩形;

(2)首先作辅助线:延长GPDC于点H,根据正方形与平行四边形的性质,利用AAS易得DHP≌△FGP,则有HP=GP,当∠CPG=90°时,利用SAS易证CPH≌△CPG,根据全等三角形与正方形的性质,即可得BG=GF,根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形,可得BEFG是菱形,而∠EBG=90°,即得四边形BEFG是正方形.

(1)∵正方形ABCD中,∠ABC=90°,

∴∠EBG=90°,

BEFG是矩形

(2)90°;

理由:延长GPDC于点H,

∵正方形ABCD和平行四边形BEFG中,ABDC,BEGF,

DCGF,

∴∠HDP=GFP,DHP=FGP,

P是线段DF的中点,

DP=FP,

∴△DHP≌△FGP,

HP=GP,

当∠CPG=90°时,∠CPH=CPG,

CP=CP,

∴△CPH≌△CPG,

CH=CG,

∵正方形ABCD中,DC=BC,

DH=BG,

∵△DHP≌△FGP,

DH=GF,

BG=GF,

BEFG是菱形,

由(1)知四边形BEFG是矩形,

∴四边形BEFG是正方形.

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