题目内容

(2013•南京)如图,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦.过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连接AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D.连接AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.
(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=9,BC=6.求PC的长.
分析:(1)过C点作直径CE,连接EB,由CE为直径得∠E+∠BCE=90°,由AB∥DC得∠ACD=∠BAC,而∠BAC=∠E,∠BCP=∠ACD,所以∠E=∠BCP,于是∠BCP+∠BCE=90°,然后根据切线的判断得到结论;
(2)根据切线的性质得到OA⊥AD,而BC∥AD,则AM⊥BC,根据垂径定理有BM=CM=
1
2
BC=3,根据等腰三角形性质有AC=AB=9,在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM=6
2

设⊙O的半径为r,则OC=r,OM=AM-r=6
2
-r,在Rt△OCM中,根据勾股定理计算出r=
27
2
8
,则CE=2r=
27
2
4
,OM=6
2
-
27
2
8
=
21
2
8
,利用中位线性质得BE=2OM=
21
2
4
,然后判断Rt△PCM∽Rt△CEB,根据相似比可计算出PC.
解答:解:(1)PC与圆O相切,理由为:
过C点作直径CE,连接EB,如图,
∵CE为直径,
∴∠EBC=90°,即∠E+∠BCE=90°,
∵AB∥DC,
∴∠ACD=∠BAC,
∵∠BAC=∠E,∠BCP=∠ACD.
∴∠E=∠BCP,
∴∠BCP+∠BCE=90°,即∠PCE=90°,
∴CE⊥PC,
∴PC与圆O相切;

(2)∵AD是⊙O的切线,切点为A,
∴OA⊥AD,
∵BC∥AD,
∴AM⊥BC,
∴BM=CM=
1
2
BC=3,
∴AC=AB=9,
在Rt△AMC中,AM=
AC2-CM2
=6
2

设⊙O的半径为r,则OC=r,OM=AM-r=6
2
-r,
在Rt△OCM中,OM2+CM2=OC2,即32+(6
2
-r)2=r2,解得r=
27
2
8

∴CE=2r=
27
2
4
,OM=6
2
-
27
2
8
=
21
2
8

∴BE=2OM=
21
2
4

∵∠E=∠MCP,
∴Rt△PCM∽Rt△CEB,
PC
CE
=
CM
EB

PC
27
2
4
=
3
21
2
4

∴PC=
27
7
点评:本题考查了切线的判定与性质:过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线;圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了勾股定理、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质.
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