题目内容
如图,直角梯形OABC,A(7,0),C(0,4),AB=5,动点P以每秒1个单位的速度沿C-O-A的折线运动,直线MQ始终与x轴垂直,且同时从点A出发,以每秒1个单位的速度沿A-O平移,与折线ABC交于点Q,与x轴交于点M,P、M中有一个到达终点,另一个随即而停止,运动的时间为t(秒)
(1)求:点B的坐标;
(2)设△CPQ的面积为S,求:S与t的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)若动线段PQ的中点N的坐标为(x,y),在0≤t≤3范围内求出y与x的函数关系式和动点N走过的路程.
(1)求:点B的坐标;
(2)设△CPQ的面积为S,求:S与t的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)若动线段PQ的中点N的坐标为(x,y),在0≤t≤3范围内求出y与x的函数关系式和动点N走过的路程.
考点:一次函数综合题
专题:
分析:(1)作BD⊥OA,垂足为点D,由勾股定理求得AD的长,直接写出点B的坐标;
(2)分情况探讨△CPQ的面积:点P在CO上运动和点P在OA上运动,分别用用t表示三角形的面积求出答案;
(3)求出过AB两点的直线,进一步用t和中点坐标表示出(x,y),求出y与x的函数关系式,再进一步利用勾股定理解决问题.
(2)分情况探讨△CPQ的面积:点P在CO上运动和点P在OA上运动,分别用用t表示三角形的面积求出答案;
(3)求出过AB两点的直线,进一步用t和中点坐标表示出(x,y),求出y与x的函数关系式,再进一步利用勾股定理解决问题.
解答:解:(1)如图,作BD⊥OA,垂足为点D,
由C(0,4)可知BD=4,
AD=
=3,
∴OD=4,
点B坐标为(4,4).
(2)分两种情况探讨,
①当P在CO上运动,如图
0<t≤4时,
S△CPQ=
t(7-t)
=-
(t-
)2+
;
△CPQ的面积最大为
.
②当P在AO上运动,如图
S=
(7-t)•4=-2t+
高为4,当t=3时,
△CPQ的面积最大,
S△CPQ=
×4×3=6;
由以上可知△CPQ的面积最大为
.
(3)如图
作AD⊥CB的延长线于D,
∵A(7,0),C(0,4),AB=5
∴AD=4
∴BD=
=3
∴B(4,4)
根据A(7,0),B(4,4)可求出直线AB的解析式为:y=-
x+
又0≤t≤3,
∴PQ的运动范围在AB之间且从点A出发以每秒1个单位的速度沿AO平移
∴在t时AM=t
∴M(7-t,0)
将x=7-t代入y=-
x+
解得:y=
t
∴Q(7-t,
t)
在t时,CP=t
∴P(0,4-t)
设PQ的中点N的坐标为(x,y),则有:
x=
,得t=7-2x(2≤x≤
)
y=
,得t=6y-12;
∴7-2x=6y-12
整理后得:y=-
x+
(2≤x≤
);
当t=0时x=
,y=2;
当t=3时x=2,y=
∴动点N走过的路程=
=
.
由C(0,4)可知BD=4,
AD=
52-42 |
∴OD=4,
点B坐标为(4,4).
(2)分两种情况探讨,
①当P在CO上运动,如图
0<t≤4时,
S△CPQ=
1 |
2 |
=-
1 |
2 |
7 |
2 |
49 |
8 |
△CPQ的面积最大为
49 |
8 |
②当P在AO上运动,如图
S=
1 |
2 |
7 |
2 |
高为4,当t=3时,
△CPQ的面积最大,
S△CPQ=
1 |
2 |
由以上可知△CPQ的面积最大为
49 |
8 |
(3)如图
作AD⊥CB的延长线于D,
∵A(7,0),C(0,4),AB=5
∴AD=4
∴BD=
AB2-AD2 |
∴B(4,4)
根据A(7,0),B(4,4)可求出直线AB的解析式为:y=-
4 |
3 |
28 |
3 |
又0≤t≤3,
∴PQ的运动范围在AB之间且从点A出发以每秒1个单位的速度沿AO平移
∴在t时AM=t
∴M(7-t,0)
将x=7-t代入y=-
4 |
3 |
28 |
3 |
4 |
3 |
∴Q(7-t,
4 |
3 |
在t时,CP=t
∴P(0,4-t)
设PQ的中点N的坐标为(x,y),则有:
x=
7-t+0 |
2 |
7 |
2 |
y=
| ||
2 |
∴7-2x=6y-12
整理后得:y=-
1 |
3 |
19 |
6 |
7 |
2 |
当t=0时x=
7 |
2 |
当t=3时x=2,y=
5 |
2 |
∴动点N走过的路程=
(2-
|
| ||
2 |
点评:此题综合考查了一次函数、勾股定理以及求中点坐标的运用来解决一次函数的动点问题.
练习册系列答案
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对甲、乙两同学100米短跑进行5次测试,他们的成绩通过计算得:
甲=
乙,S2甲=0.025,S2乙=0.030,下列说法正确的是( )
. |
x |
. |
x |
A、甲短跑成绩比乙好 |
B、乙短跑成绩比甲好 |
C、甲比乙短跑成绩稳定 |
D、乙比甲短跑成绩稳定 |
⊙O的半径为4,如图圆心O的坐标为(0,0),点A的坐标为(4,2),则点A与⊙O的位置关系是( )
A、点A在⊙O内 |
B、点A在⊙O外 |
C、点A在⊙O上 |
D、不能确定 |