题目内容
如图,抛物线的顶点坐标是A(1,4),且经过点B(-
,-
),与横轴交于C,D两点(点C在点D的左边)
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接AD,判断AD与BD的位置关系,并说明理由;
(3)设点P是直线BD上方且位于抛物线上的一动点,过点P作PQ∥AD交直线BD于点Q,求PQ的最大值.
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(1)求抛物线的解析式;
(2)连接AD,判断AD与BD的位置关系,并说明理由;
(3)设点P是直线BD上方且位于抛物线上的一动点,过点P作PQ∥AD交直线BD于点Q,求PQ的最大值.
考点:二次函数综合题
专题:综合题
分析:(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4,将点B的坐标代入可得a的值,继而可确定抛物线的解析式;
(2)分别求出AB、BD、AD的长度,利用勾股定理的逆定理可判断AD⊥BD;
(3)过点A作AE∥y轴,交BD于点E,作PF∥y轴,交BD于点F,先求出cos∠EAD,设点P的坐标为(x,-x2+2x+3),表示出PF,继而在Rt△PQF中,可表示出PQ,利用配方法求解最值即可.
(2)分别求出AB、BD、AD的长度,利用勾股定理的逆定理可判断AD⊥BD;
(3)过点A作AE∥y轴,交BD于点E,作PF∥y轴,交BD于点F,先求出cos∠EAD,设点P的坐标为(x,-x2+2x+3),表示出PF,继而在Rt△PQF中,可表示出PQ,利用配方法求解最值即可.
解答:解:(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4,
将点B的坐标代入可得:-
=a(-
-1)2+4,
解得:a=-1,
故抛物线解析式为:y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3;
(2)令y=0,则-x2+2x+3=0,
解得:x1=-1,x2=3,
∴C的坐标为(-1,0),D的坐标为(3,0),
则AD=
=2
,BD=
=
,AB=
=
,
∵AD2+BD2=AB2,
∴△ABD是直角三角形,
∴AD⊥BD;
(3)设直线BD的解析式为y=kx+b,
将B、D的坐标代入可得:
,
解得:
,
则直线BD的解析式为y=
x-
,
过点A作AE∥y轴,交BD于点E,作PF∥y轴,交BD于点F,
则点E的坐标为(1,-1),AE=5,cos∠EAD=
=
,
设点P的坐标为(x,-x2+2x+3),则点F的坐标为(x,
x-
),PF=-x2+2x+3-(
x-
)=-x2+
x+
,
在Rt△PFQ中,PQ=PFcos∠FPQ=PFcos∠EAD
=
(-x2+
x+
)
=-
(2x2-3x-9)
=-
(2x2-3x)+
=-
(x-
)2+
,
当x=
时,PQ取得最大,最大值为
.
将点B的坐标代入可得:-
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解得:a=-1,
故抛物线解析式为:y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3;
(2)令y=0,则-x2+2x+3=0,
解得:x1=-1,x2=3,
∴C的坐标为(-1,0),D的坐标为(3,0),
则AD=
(1-3)2+(4-0)2 |
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(-
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(-
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∵AD2+BD2=AB2,
∴△ABD是直角三角形,
∴AD⊥BD;
(3)设直线BD的解析式为y=kx+b,
将B、D的坐标代入可得:
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解得:
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则直线BD的解析式为y=
1 |
2 |
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过点A作AE∥y轴,交BD于点E,作PF∥y轴,交BD于点F,
则点E的坐标为(1,-1),AE=5,cos∠EAD=
AD |
AE |
2
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5 |
设点P的坐标为(x,-x2+2x+3),则点F的坐标为(x,
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在Rt△PFQ中,PQ=PFcos∠FPQ=PFcos∠EAD
=
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=-
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=-
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5 |
=-
2
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5 |
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40 |
当x=
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40 |
点评:本题考查了二次函数的综合,涉及了待定系数法求抛物线解析式、勾股定理的逆定理及配方法求二次函数的最值,综合考察的知识点较多,解答本题注意数形结合思想的运算.
练习册系列答案
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sin45°=( )
A、
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B、
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C、
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D、
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