题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,对于P(m,n),若点Q的坐标为(m,|m-n|),则称点Q为点P的关联点.
(1)请直接写出点(2,2)的关联点;
(2)如果点P在一次函数y=x-1的图像上,其“关联点”Q与点P重合,求点P的坐标;
(3)已知点P在一次函数y=x(x>0)和一次函数y=x(x>0)所围成的区域内,且点P的“关联点”Q在二次函数的图像上,求线段PQ的最大值及此时点P的坐标.
【答案】(1)(2;0);(2)(2;1) ;(3)PQ的最大值为,此时P(,)
【解析】试题分析:(1)直接根据关联点的定义可求得答案;(2)设P(x,x-1),由关联点的定义表示出Q点的坐标,由Q与P重合可求得P点的坐标;(3)设点P的坐标为(a,b),由题意可知:a>0,b>0且a>b,2b>a,然后得到点Q的坐标为(a,a-b),再列出PQ与a的函数关系式,最后利用配方法可求得PQ的最大值,以及点P的坐标.
试题解析:(1)点(2,2)的关联点的坐标为(2,|22|),即(2,0).
(2)设P(x,x1),则点P的关联点的坐标为(x,1).
∵点P的“关联点”Q与点P重合,
∴x1=1,解得x=2.
∴点P的坐标为(2,1).
(3)设点P的坐标为(a,b).
∵点P在一次函数y=x(x>0)和一次函数y=x(x>0)所围成的区域内,
∴a>0,b>0且a>b,2b>a.
∴点P的“关联点”Q的坐标为(a,ab).
∵点Q在二次函数y=x2的图象上,
∴ab=a2,整理得b=aa2.
∵PQ=b(ab)=2ba,
∴PQ=2(aa2)a=2a2+a=2(a)2+.
∴当a=时,PQ有最大值,最大值为.
把a=代入b=aa2得b=.
∴点P的坐标为(,6).
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