题目内容

如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N．
（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC能否成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．
（1）证明：∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°
∴四边形OBNM为矩形
∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°
∵OA=OB，
∴∠1=∠3=45°
∵MN∥OB，
∴∠2=∠3=45°
∴∠1=∠2=45°，
∴AM=PM
∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM
∴OM=PN
∵∠OPC=90°，
∴∠4+∠5=90°，
又∵∠4+∠6=90°，
∴∠5=∠6
∴△OPM≌△PCN

（2）∵AM=PM=APsin45°=
2
2
m，
∴OM=1-
2
2
m
∴S=S矩形OBNM-2S△POM=（1-
2
2
m）-2×
1
2
（1-
2
2
m）•
2
2
m
=
1
2
m2-
2
m+1（0≤m＜
2
2
）．

（3）△PBC可能成为等腰三角形
①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）
②当点C在第四象限，且PB=CB时
有BN=PN=1-
2
2
m
∴BC=PB=
2
PN=
2
-m
∴NC=BN+BC=1-
2
2
m+
2
-m
由（2）知：NC=PM=
2
2
m
∴1-
2
2
m+
2
-m=
2
2
m
整理得（
2
+1）m=
2
+1
∴m=1
∴PM=
2
2
m=
2
2
，BN=1-
2
2
m=1-
2
2

∴P（
2
2
，1-
2
2
）
由题意可知PC=PB不成立
∴使△PBC为等腰三角形的点P的坐标为（0，1）或（
2
2
，1-
2
2
）．
练习册系列答案
相关题目
已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB．
已知：如图，AD∥BC，∠B=∠D．求证：△ADC≌△CBA．
如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，AD、BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，则图中共有全等三角形（　　）
A．1对B．2对C．3对D．4对
在△ABC与△DEF中，下列各组条件中，不能判定两个三角形全等的是（　　）
A．AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠FB．AB=EF，∠A=∠E∠B=∠F
C．AC=DF，BC=DE，∠C=∠DD．∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE
如图．点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．请写出图中的全等三角形______（写出一对即可）．
如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′，则补充的这个条件是（　　）
A．BC=B′C′B．∠A=∠A′C．AC=A′C′D．∠C=∠C′
下列说法正确的有（　　）
①全等三角形的周长相等；
②面积相等的两个三角形全等；
③形状、大小都相同的图形一定是全等图形．
A．3个B．2个C．1个D．0个
在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1）、B（1，-1）、C（-1，-1）、D（-1，1），y轴上有一点P（0，2）．作点P关于点A的对称点P1，作P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称点P3，作P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作P5关于点B的对称点P6┅，按如此操作下去，则点P2011的坐标为（　　）
A．（0，2）B．（2，0）C．（0，-2）D．（-2，0）

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