Question

【题目】定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．

（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；
（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；
（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使点C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）；
（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和△NBE均为等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究S△AMF ， S△BEN和S四边形MNHG的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

①当MN为最大线段时，

∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，

∴BN= = = ；

②当BN为最大线段时，

∵点M、N是线段AB的勾股分割点，

∴BN= = = ，

综上所述：BN= 或

（2）

证明：∵FG是△ABC的中位线，

∴FG∥BC，

∴ =1，

∴点M、N分别是AD、AE的中点，

∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，

∵点D、E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，

∴EC2=BD2+DE2，

∴（2NG）2=（2FM）2+（2MN）2，

∴NG2=FM2+MN2，

∴点M、N是线段FG的勾股分割点

（3）

解：作法：①在AB上截取CE=CA；

②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；

③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；

点D即为所求；如图所示：

（4）

解：S四边形MNHG=S△AMF+S△BEN，理由如下：

设AM=a，BN=b，MN=c，

∵H是DN的中点，

∴DH=HN= c，

∵△MND、△BNE均为等边三角形，

∴∠D=∠DNE=60°，

在△DGH和△NEH中，

，

∴△DGH≌△NEH（ASA），

∴DG=EN=b，

∴MG=c﹣b，

∵GM∥EN，

∴△AGM∽△AEN，

∴ ，

∴c2=2ab﹣ac+bc，

∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，

∴c2=a2+b2，

∴（a﹣b）2=（b﹣a）c，

又∵b﹣a≠c，

∴a=b，

在△DGH和△CAF中，

，

∴△DGH≌△CAF（ASA），

∴S△DGH=S△CAF，

∵c2=a2+b2，

∴ c2= a2+ b2，

∴S△DMN=S△ACM+S△ENB，

∵S△DMN=S△DGH+S四边形MNHG，S△ACM=S△CAF+S△AMF，

∴S四边形MNHG=S△AMF+S△BEN

【解析】（1）①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可；（2）先证出点M、N分别是AD、AE的中点，得出BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，求出EC2=BD2+DE2 ， 得出NG2=FM2+MN2 ， 即可得出结论；（3）在AB上截取CE=CA；作AE点垂直平分线，截取CF=CA；作BF的垂直平分线，交AB于D即可；（4）先证明△DGH≌△NEH，得出DG=EN=b，MG=c﹣b，再证明△AGM∽△AEN，得出比例式，得出c2=2ab﹣ac+bc，证出c2=a2+b2 ， 得出a=b，证出△DGH≌△CAF，得出S△DGH=S△CAF ， 证出S△DMN=S△ACM+S△ENB ， 即可得出结论．