题目内容
【题目】如图，抛物线
与
轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与
轴交于点C，连接BC、AC，tan∠OCB -tan∠OCA=1，OB=4OA.
（1）求
和b的值；
（2）点E在线段BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF，点D是直线BC下方抛物线上一点，当△EDF是以EF为斜线的直角三角形，且4ED=3FD时，求D点坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A作AG⊥
轴，R为抛物线上CD段上一点，连接AR，点K在AR上，连接DK并延长交AG于点G，连接DR，且2∠RDK+∠RKD=90°，∠GAR=∠RDK，若点M（
）w为坐标平面内一点，直线MD与直线BC交于点N，当MN=DN时，求△MRD的面积.
【答案】(1) 
(2) D（2， 
）(3) 
【解析】试题分析：（1）先求得点C的坐标，然后设OA=n ，则OB=4n，根据tan∠OCB -tan∠OCA=1，求得n的值，从而求得A、B的坐标，利用待定系数法即可求得a、b的值；
（2）证明△EDF≌△OCB，从而得DE=OC=3，利用待定系数法求得BC的解析式，设点D的横坐标为t，则D（
），E（
），再根据DE=3即可求得t的值，从而求得点D（2， 
）；
（3）作MP∥y轴，DQ∥y轴，由（2）可知DE∥y轴，从而可得∠PMN=∠QDN，证明△MNP≌△DNQ，从而得MP=3，再根据M（
，-
），P（
， 
），求得
=
，得到M（
， 
），延长DR交y轴于W，可求得R（1，-
），从而可得
=
.
试题解析：（1）令x=0，∴y=-3，∴C（0，-3），∴OC=3，
设OA=n ，则OB=4n，
∵tan∠OCB -tan∠OCA=1，
∴
=1， ∴
=1， ∴n=1，
∴OB=4，∴OA=1，
∴A（-1，0），B（4，0）代入
中，
， ∴
；
（2）∵4ED=3FD， ∴
，由（1）可知：tan∠ABC=
，
∴tan∠EFD=tan∠ABC=
，∴∠EFD=∠ABC，
∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC ，∴BC=EF，
又∵∠BOC=∠EDF=90°，∴△EDF≌△OCB，
∴DE=OC=3，
设直线BC的解析式为y=kx+b，过B（4，0），C（0，-3），
∴
， ∴BC的解析式为
，
设点D的横坐标为t，则D（
），E（
），
∴DE= 
-3-（
）=3，
∴t=2
∴D（2， 
）；
（3）作MP∥y轴，DQ∥y轴，
由（2）可知DE∥y轴，
∴MP∥DQ，
∴∠PMN=∠QDN，
∴E、Q为同一点，
∴DQ=DE=3，
∵MN=ND，∠MNP=∠DNQ，
∴△MNP≌△DNQ，
∴MP=3，
∵M（
，-
），P（
， 
），
∴
）=3，
∴
=
，
∴M（
， 
），
延长DR交y轴于W，
设∠RDK= 
，则∠RKD=90°-2
，
∴∠ARW=90°- 
，
∵∠GAR=∠RDK= 
，
∴∠AWR=90° ，∴DR⊥x轴，
∴R（1，-
），
∴
×（
）=
.
