题目内容
【题目】我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形铺满地面，如果我们要同时用两种不同的正多边形铺满地面，可以设计出几种不同的组合方案？
问题解决：
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合铺满地面？
验证1并完成填空：在铺地面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意：可得方程①： ，
整理得②： ，
我们可以找到方程的正整数解为③： ．
结论1：铺满地面时，在一个顶点周围围绕着④个正方形和⑤个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以铺满地面．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合铺满地面？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
【答案】猜想1：①：
；②2x+3y=8；③
；猜想2：能．见解析.
【解析】
在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据平面镶嵌的体积可得方程：60a+120b=360．整理得：a+2b=6，求出正整数解即可．
解：猜想1：①：
y＝360，
整理，得 ②2x+3y=8，
整数解为③：
故答案为：
；
结论1：④1⑤2
故答案为1，2；
猜想2：能．
设围绕某一个点有x个正三角形和y个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意可得方程60x+
y＝360，
整理得x+2y=6
所以
，
即2个正三角形和2个正六边形，或4个正三角形和1个正六边形．
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