题目内容
【题目】如图1,已知△ABC中,AB=AC,点D是△ABC外一点(与点A分别在直线BC两侧),且DB=DC,过点D作DE∥AC,交射线AB于E,连接AE交BC于F.
(1)求证:AD垂直BC;
(2)如图1,点E在线段AB上且不与B重合时,求证:DE=AE;
(3)如图2,当点E在线段AB的延长线上时,写出线段DE,AC,BE的数量关系.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)DE=AC+BE.
【解析】
(1)根据线段垂直平分线的判定定理得到直线AD是BC的垂直平分线,证明结论;
(2)证明△ABD≌△ACD,得到∠BAD=∠CAD,根据平行线的性质得到∠BAD=∠CAD,等量代换得到∠BAD=∠EDA,根据等腰三角形的判定定理证明;
(3)仿照(2)的证明方法解答.
(1)∵AB=AC,DB=DC,
∴直线AD是BC的垂直平分线,
∴AD垂直BC;
(2)在△ABD和△ACD中,
,
∴△ABD≌△ACD,
∴∠BAD=∠CAD,
∵DE∥AC,
∴∠EDA=∠CAD,
∴∠BAD=∠EDA,
∴DE=AE;
(3)DE=AC+BE.
由(2)得,∠BAD=∠CAD,
∵DE∥AC,
∴∠EDA=∠CAD,
∴∠BAD=∠EDA,
∴DE=AE,
∵AB=AC,
∴DE=AB+BE=AC+BE.

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