题目内容

求证：若n为整数，则(2n＋1)2－(2n－1)2一定是8的倍数．

答案：
解析：

　　证明：∵(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝8n，

　　∵n为整数，∴8n是8的倍数．．

　　即(2n＋1)2－(2n－1)2一定是8的倍数．


练习册系列答案
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33、一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数．如64=82，64就是一个完全平方数；若a=29922+29922×29932+29932．求证：a是一个完全平方数．
附加题
（1）若方程x2-
k-1
x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
 
．
（2）已知3-
2
的整数部分是a，小数部分是b，则a+b+
2
b
的值是
 
．
（3）如图①，已经正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．
①求证：OE=OF．
②如图②，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由．
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如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=
1
2
AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=
1
4
S，△D1E1F1的面积S1=
1
4
S．
（1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=
1
3
AB时如图2，
①求证：△D2E2F2是等边三角形；
②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2=
 
；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=
 
．
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当Dn、En、Fn分别是等边△ABC三边上的点，ADn=BEn=CFn=
1
n+1
AB时，（n为正整数）△DnEnFn是
 
三角形；
若用S表示△ADnFn的面积Sn，则Sn=
 
；若用S表示△DnEnFn的面积Sn′，则S′n=
 
．
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求证：若n为整数，则一定能被8整除．

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