Question

33、一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数．如64=8²，64就是一个完全平方数；若a=2992²+2992²×2993²+2993²．求证：a是一个完全平方数．

Answer 1

分析：本题考查是的完全平方公式的应用，考虑2992²、2993²都是数值较大的数，计算起来很不方便，因此可采用换元法，设x=2992，则2993=2992+1=x+1，然后再根据所设及题意对原式进行变形配成完全平方式．

解答：证明：令2992=m，则2293=m+1，
于是a=m²+m²•（m+1）²+（m+1）²，
=m⁴+2m³+3m²+2m+1，
=m⁴+2m³+2m²+m²+2m+1，
=（m²）²+2•m²•（m+1）+（m+1）²，
=（m²+m+1）²，
所以是a一个完全平方数．

点评：本题考查了完全平方式，在计算中巧用换元法灵活应用公式可化繁为简，起到简便计算的作用．