题目内容
【题目】如图1,点O在线段AB上,AO=2,OB=1,OC为射线,且∠BOC=60°,动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动,设运动时间为t秒.
(1)当t= 秒时,则OP= , S△ABP=;
(2)当△ABP是直角三角形时,求t的值;
(3)如图2,当AP=AB时,过点A作AQ∥BP,并使得∠QOP=∠B,求证:AQBP=3.
【答案】
(1)1;
(2)
解:当△ABP是直角三角形时,
①若∠A=90°.
∵∠BOC=60°且∠BOC>∠A,
∴∠A≠90°,故此种情形不存在;
②若∠B=90°,如答图2所示:
∵∠BOC=60°,
∴∠BPO=30°,
∴OP=2OB=2,又OP=2t,
∴t=1;
③若∠APB=90°,如答图3所示:
过点P作PD⊥AB于点D,则OD=OPsin30°=t,PD=OPsin60°= t,
∴AD=OA+OD=2+t,BD=OB﹣OD=1﹣t.
在Rt△ABP中,由勾股定理得:PA2+PB2=AB2
∴(AD2+PD2)+(BD2+PD2)=AB2,
即[(2+t)2+( t)2]+[(1﹣t)2+( t)2]=32
解方程得:t= 或t= (负值舍去),
∴t= .
综上所述,当△ABP是直角三角形时,t=1或t=
(3)
证明:如答图4,过点O作OE∥AP,交PB于点E,
则有 ,
∴PE= PB.
∵AP=AB,
∴∠APB=∠B,
∵OE∥AP,
∴∠OEB=∠APB,
∴∠OEB=∠B,
∴OE=OB=1,∠3+∠B=180°.
∵AQ∥PB,
∴∠OAQ+∠B=180°,
∴∠OAQ=∠3;
∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B,∠QOP=∠B,
∴∠1=∠2;
∴△OAQ∽△PEO,
∴ ,即 ,
化简得:AQPB=3
【解析】(1)解:当t= 秒时,OP=2t=2× =1.
如答图1,过点P作PD⊥AB于点D.
在Rt△POD中,PD=OPsin60°=1× = ,
∴S△ABP= ABPD= ×(2+1)× = .
(1)如答图1所示,作辅助线,利用三角函数或勾股定理求解;(2)当△ABP是直角三角形时,有三种情形,需要分类讨论;(3)如答图4所示,作辅助线,构造一对相似三角形△OAQ∽△PBO,利用相似关系证明结论.
【题目】为了解某校学生的身高情况,随机抽取该校男生、女生进行抽样调查.已知抽取的样本中,男生、女生的人数相同,利用所得数据绘制如下统计图表: 身高情况分组表(单位:cm)
组别 | 身高 |
A | x<155 |
B | 155≤x<160 |
C | 160≤x<165 |
D | 165≤x<170 |
E | x≥170 |
根据图表提供的信息,回答下列问题:
(1)样本中,男生的身高众数在组,中位数在组;
(2)样本中,女生身高在E组的人数有人;
(3)已知该校共有男生400人,女生380人,请估计身高在160≤x<170之间的学生约有多少人?