Question

已知：如图，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为4，它的顶点A在x轴的正半轴上运动，顶点D在y轴的正半轴上运动（点A，D都不与原点重合），顶点B，C都在第一象限，且对角线AC，BD相交于点P，连接OP．
（1）当OA=OD时，点D的坐标为______，∠POA=______°；
（2）当OA＜OD时，求证：OP平分∠DOA；
（3）设点P到y轴的距离为d，则在点A，D运动的过程中，d的取值范围是什么？

Answer 1

（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴△ADP是等腰直角三角形，
又∵OA=OD，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴四边形AODP是正方形，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC=BD=

42+42

=4

2

，
∴AP=DP=

1

2

×4

2

=2

2

，
∴点D的坐标为（0，2

2

），∠POA=45°；

（2）证明：如图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴PD=PA，∠DPA=90°，
∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∴∠PMO=∠PNO=∠PND=90°，
∵∠NOM=90°，
∴四边形NOMP中，∠NPM=90°，
∴∠DPA=∠NPM，
∵∠1=∠DPA-∠NPA，∠2=∠NPM-∠NPA，
∴∠1=∠2，
∵在△DPN和△APM中，

∠PND=∠PMA ∠1=∠2 PD=PA

，
∴△DPN≌△APM（AAS），
∴PN=PM，
∴OP平分∠DOA；

（3）当A、O重合时，点P到y轴的距离最小，
d=

1

2

×4=2，
当OA=OD时，点P到y轴的距离最大，d=PD=2

2

，
∵点A，D都不与原点重合，
∴2＜d≤2

2

．