Question

【题目】如图，点在正方形的边上，连接，设点关于直线的对称点为点，且点在正方形内部，连接并延长交边于点，过点作交射线于点，连接．若，则的长为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据对称得：△ABE≌△AB'E，再由HL证明Rt△AB'F≌Rt△ADF，即可得B'F＝DF，如图，作辅助线，构建BM＝BE，先证明∠EAF＝45°，得AE＝EG，证明△AME≌△ECG，则EM＝CG，根据等腰直角的性质得：EM＝BE，即可得出结论．

解：如图，在线段AB上截取BM，使BM＝BE，连接ME，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠B＝∠D＝90°，

∵点B关于直线AE的对称点为B'，

∴△ABE≌△AB'E，

∴∠BAE＝∠B'AE，AB＝AB'＝AD，∠AB'E＝∠B＝90°，

∴∠AB' F＝90°，

在Rt△AB'F和Rt△ADF中，

∵ ，

∴Rt△AB'F≌Rt△ADF（HL），

∴∠DAF＝∠B'AF，

∵AB＝BC，BM＝BE，

∴AM＝EC，

∵∠BAE＝∠B'AE，∠DAF＝∠B'AF，

又∵∠BAD＝90°，

∴2∠B'AE +2∠B'AF＝90°，

∴∠B'AE +∠B'AF＝45°，

即∠EAF＝45°，

∵AE⊥EG，

∴∠AEG＝90°，

∴△AEG是等腰直角三角形，

∴∠AEB+∠CEG＝∠AEB+∠BAE＝90°，AE＝EG，

∴∠BAE＝∠CEG，

在△AME和△ECG中，

∵，

∴△AME≌△ECG（SAS），

∴EM＝CG，

Rt△BEM中，∠B＝90°，BM＝BE，

∴EM＝BE，

∴CG＝BE，

∵，

∴CG＝．

故答案为：．