Question

（2012•营口）如图，实线部分为某月牙形公园的轮廓示意图，它可看作是由⊙P上的一段优弧和⊙Q上的一段劣弧围成，⊙P与⊙Q的半径都是2km，点P在⊙Q上．
（1）求月牙形公园的面积；
（2）现要在公园内建一块顶点都在⊙P上的直角三角形场地ABC，其中∠C=90°，求场地的最大面积．

Answer 1

分析：（1）连接DQ、EQ、PD、PE、PQ、DE，得出等边三角形DPQ和等边三角形EPQ，得出∠PQD=∠EQP=60°，根据相交两圆的性质得出DE⊥PQ，求出FQ和DF的值，求出DE，分别求出扇形DQE的面积和三角形DEQ的面积，即可求出弓形DPE的面积，根据圆的面积和弓形的面积求出答案即可；
（2）根据∠ACB=90°得出AB是圆的直径，是2km，要使三角形ABC的面积最大得出只要高CN最大即可，得出CN的最大值是CP（P和N重合，CN最大），代入求出即可．

解答：解：（1）连接DQ、EQ、PD、PE、PQ、DE．

由已知PD=PQ=DQ，
∴△DPQ是等边三角形．
∴∠DQP=60°．
同理∠EQP=60°．
∴∠DQE=120°，
∵⊙P和⊙Q交于D、E，
∴QP⊥DE，DF=EF，
∵△EPQ是等边三角形，
∴∠QDE=30°，
∴FQ=

1

2

DQ=1，
由勾股定理得：DF=

3

=EF，
即ED=2

3

，
S_弓形DPE=S_扇形QDE-S_△DQE
=

120π×22

360

-

1

2

×2

3

×1
=

4π

3

-

3

，
故月牙形公园的面积=4π-2（

4

3

π-

3

）=（

4

3

π﹢2

3

）km²．
答：月牙形公园的面积为（

4

3

π﹢2

3

）km²．

（2）∵∠C=90°，
∴AB是⊙P的直径，
过点C作CN⊥AB于点N，S_△ABC=

1

2

CN•AB，
∵AB=4km，
∴S_△ABC的面积取最大值就是CN长度取最大值，即CN=CP=2km，
S_△ABC的面积最大值等于4km²，
故场地的最大面积为4km²．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，扇形的面积，三角形的面积，相交两圆的性质等知识点的综合运用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．