题目内容
【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)问:若抛物线顶点为D,点Q为直线AC上一动点,当△DOQ的周长最小时,求点Q的坐标
【答案】
(1)
解:方法一:
将A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+c中,得:
,
解得:
∴抛物线的解析式:y=﹣x2+2x+3
方法二:
∵A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3),
∴y=﹣(x+1)(x﹣3),即y=﹣x2+2x+3
(2)
解:方法一:
连接BC,直线BC与直线l的交点为P;
∵点A、B关于直线l对称,
∴PA=PB,
∴BC=PC+PB=PC+PA
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),将B(3,0),C(0,3)代入上式,得:
,解得:
∴直线BC的函数关系式y=﹣x+3;
当x=1时,y=2,即P的坐标(1,2)
方法二:
连接BC,
∵l为对称轴,
∴PB=PA,
∴C,B,P三点共线时,△PAC周长最小,把x=1代入lBC:y=﹣x+3,得P(1,2)
(3)
解:方法一:
抛物线的对称轴为:x=﹣ =1,设M(1,m),已知A(﹣1,0)、C(0,3),则:
MA2=m2+4,MC2=(3﹣m)2+1=m2﹣6m+10,AC2=10;
①若MA=MC,则MA2=MC2,得:
m2+4=m2﹣6m+10,得:m=1;
②若MA=AC,则MA2=AC2,得:
m2+4=10,得:m=± ;
③若MC=AC,则MC2=AC2,得:
m2﹣6m+10=10,得:m1=0,m2=6;
当m=6时,M、A、C三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去;
综上可知,符合条件的M点,且坐标为 M(1, )(1,﹣ )(1,1)(1,0).
方法二:
设M(1,t),A(﹣1,0),C(0,3),
∵△MAC为等腰三角形,
∴MA=MC,MA=AC,MC=AC,
(1+1)2+(t﹣0)2=(1﹣0)2+(t﹣3)2,∴t=1,
(1+1)2+(t﹣0)2=(﹣1﹣0)2+(0﹣3)2,∴t=± ,
(1﹣0)2+(t﹣3)2=(﹣1﹣0)2+(0﹣3)2,∴t1=6,t2=0,
经检验,t=6时,M、A、C三点共线,故舍去,
综上可知,符合条件的点有4个,M1(1, ),M2(1,﹣ ),M3(1,1),M4(1,0)
(4)
解:作点O关于直线AC的对称点O交AC于H,
作HG⊥AO,垂足为G,
∴∠AHG+∠GHO=90°,∠AHG+∠GAH=90°,
∴∠GHO=∠GAH,
∴△GHO∽△GAH,
∴HG2=GOGA,
∵A(﹣1,0),C(0,3),
∴lAC:y=3x+3,H(﹣ , ),
∵H为OO′的中点,
∴O′(﹣ , ),
∵D(1,4),
∴lO′D:y= x+ ,lAC:y=3x+3,
∴x=﹣ ,y= ,
∴Q(﹣ , )
【解析】方法一:(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可.(2)由图知:A、B点关于抛物线的对称轴对称,那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知:若连接BC,那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点.(3)由于△MAC的腰和底没有明确,因此要分三种情况来讨论:①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC;可先设出M点的坐标,然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长,再按上面的三种情况列式求解.
方法二:(1)略.(2)找出A点的对称点点B,根据C,P,B三点共线求出BC与对称轴的交点P.(3)用参数表示的点M坐标,分类讨论三种情况,利用两点间距离公式就可求解.(4)先求出AC的直线方程,利用斜率垂直公式求出OO’斜率及其直线方程,并求出H点坐标,进而求出O’坐标,求出DO’直线方程后再与AC的直线方程联立,求出Q点坐标.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用二次函数的概念的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数.
【题目】某学校对学生的课外阅读时间进行抽样调查,将收集的数据分成A、B、C、D、E五组进行整理,并绘制成如下的统计图表(图中信息不完整).
组别 | 阅读时间x(时) | 人数 |
A | 0≤x<10 | k |
B | 10≤x<20 | 100 |
C | 20≤x<30 | m |
D | 30≤x<40 | 140 |
E | x≥40 | n |
请结合以上信息解答下列问题
(1)阅读时间分组统计表中k、m、n的值分别是 、 、 ;
(2)补全“阅读人数分组统计图”;
(3)若全校有3000名学生,请估算全校课外阅读时间在20小时以下(不含20小时)的