题目内容

如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD=1，BC=3，以AB为直径的半圆O与CD相切于E点．则梯形ABCD的面积是

A.
3
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：由梯形ABCD中AD与BC平行，利用两直线平行同旁内角互补，得到一对角互补，再由∠ABC=90°，得到∠BAD=90°，又AB为圆O的直径，可得出AD与BC都与圆O相切，又DC与圆O相切于点E，利用切线长定理得到DA=DE，CE=CB，由AD与BC的长求出DC的长，过D作DF垂直于BC，可得出四边形ABFD为矩形，利用矩形的对边相等得到AD=BF，由AD的长求出BF的长，利用BC-BF求出FC的长，在直角三角形CFD中，利用勾股定理求出DF的长，即为梯形的高，利用梯形的面积即可求出梯形ABCD的面积．
解答：

解：∵直角梯形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
又∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴AD与BC都与圆O相切，
又DC与圆O相切于点E，且AD=1，BC=3，
∴DA=DE=1，CE=CB=3，
∴DC=DE+EC=AD+BC=1+3=4，
过D作DF⊥BC于F点，则四边形ABFD为矩形，
∴AD=BF=1，
∴FC=BC-BF=3-1=2，
在Rt△CFD中，根据勾股定理得：DF= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
则S_梯形ABCD= $\text{[math]}$ （AD+BC）•DF=4 $\text{[math]}$ ．
故选D．
点评：此题考查了切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理，梯形的面积公式，以及矩形的判定与性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．