Question

如图，二次函数y=x²+px+q（p＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），△ABC的面积为

5

4

．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由△ABC的面积为

5

4

，可得AB×OC=

5

2

，又二次函数y=x²+px+q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1）可求得该二次函数的关系式；
（2）四边形ABCD为直角梯形，要分类讨论，即究竟那条边为底．可以分别以AC、BC为底进行讨论．

解答：解：（1）∵OC=1，
∴q=-1，
∵△ABC的面积为

5

4

．
∴

1

2

OC×AB=

5

4

，
解得：AB=

5

2

，
设A（a，0），B（b，0），
则a、b是一元二次方程x²+px-1=0两个根，
∴a+b=-p，ab=-1，
∴AB=b-a=

(a+b)2-4ab

=

5

2

，
解得p=±

3

2

，
又∵p＜0，
∴p=-

3

2

．
所以解析式为：y=x²-

3

2

x-1；

（2）存在，AC⊥BC，
令y=0，则0=x²-

3

2

x-1，
解得：x₁=-

1

2

，x₂=2，
∴A（-

1

2

，0），C（0，-1），
①若以AC为底边，则BD∥AC，
将A，C点代入y=ax+b得：

- 1 2 a+b=0 b=-1

，
解得：

a=-2 b=-1

，
∴AC的解析式为：y=-2x-1，
可设BD的解析式为y=-2x+b，
把B（2，0）代入得BD解析式为y=-2x+4，
解方程组

y=x2- 3 2 x-1 y=-2x+4

得D（-

5

2

，9）
②若以BC为底边，则BC∥AD，
将B（2，0），C（0，-1）代入y=kx+c中，

2k+b=0 b=-1

，
解得：

k=0.5 b=-1

∴BC的解析式为y=0.5x-1，
可设AD的解析式为y=0.5x+b，把A（

1

2

，0）代入
得AD解析式为y=0.5x+0.25，
解方程组

y=x2- 3 2 x-1 y=0.5x+0.25

，
得D（

5

2

，

3

2

）
综上，所以存在两点：（-

5

2

，9）或（

5

2

，

3

2

）．

点评：本题综合考查了二次函数的有关知识以及待定系数法求一次函数解析式以及直角梯形的判定方法，利用分类讨论得出是解题关键．