Question

如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．
求证：（1）AE=CG；（2）AN•DN=CN•MN．

Answer 1

分析：（1）要证明AE=CG，只要证得三角形ADE和三角形CDG全等即可，根据题中的已知条件我们不难得出，AD=CD，GC=AE，∠ADE和∠GDC，又同为90°+∠ADC，那么就构成了全等三角形的判定中SAS的条件．
（2）本题可通过证明三角形AMN和三角形CDN相似来证得．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，
∵∠ADE=90°+∠ADG，∠CDG=90°+∠ADG，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中
∵

AD=CD ∠ADE=∠CDG DE=DG

，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG．

（2）由（1）得△ADE≌△CDG，
则∠DAE=∠DCG，
又∵∠ANM=∠CND，
∴△AMN∽△CDN，
∴

AN

CN

=

MN

DN

，
即AN•DN=CN•MN．

点评：求某两条线段相等，可通过证明它们所在的三角形全等来实现．要证明某些线段成比例，可通过证明这些相关联的线段所在的三角形相似来得出所求的条件．