Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，点E是AB的中点，延长EO交⊙O于D点，若BC=DC，AB=2 ，求 的长度．

Answer 1

【答案】解：连结BD，如图， ∵BC=DC，
∴ = ，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD，
∵点E是AB的中点，即AE=BE= ，
∴DE⊥AB，
∴DA=DB，
∴AB=AD=DB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAC=30°，∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
在Rt△AEO中，∵∠EAO=30°，
∴OE= AE=1，AO=2OE=2，
∴ 的长度= = ．

【解析】连结BD，如图，利用圆心角、弧、弦的关系，由BC=DC得 = ，则根据垂径定理得到AC垂直平分BD，所以AB=AD，同样可得DA=DB，则可判断△ABD为等边三角形，所以∠BAC=30°，∠ABD=60°，根据圆周角定理得∠AOD=2∠ABD=120°，然后在Rt△AEO中计算出AO，最后利用弧长公式计算即可．
【考点精析】通过灵活运用三角形的外接圆与外心和弧长计算公式，掌握过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心；若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为l，则l=nπr/180;注意：在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的即可以解答此题．