题目内容
如图,平面直角坐标系中,点A、B、C在x轴上,点D、E在y轴上,OA=OD=2,OC=OE=4,B为线段OA的中点,直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点,与其对称轴交于M,点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合),PQ∥y轴与抛物线交于点Q.
(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式;
(2)判断△BDC的形状,并给出证明;当P在什么位置时,以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形,并求出此时点P的坐标;
(3)若抛物线的顶点为N,连接QN,探究四边形PMNQ的形状:①能否成为菱形;②能否成为等腰梯形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,请说明理由.(湖北潜江中考25题改编)
解:(1)B(-1,0)E(0,4)C(4,0)设解析式是y=ax2+bx+c,
可得,
解得,
∴y=-x2+3x+4;
(2)△BDC是直角三角形,
∵BD2=BO2+DO2=5,DC2=DO2+CO2=20,BC2=(BO+CO)2=25
∴BD2+DC2=BC2,
∴△BDC是直角三角形.
点A坐标是(-2,0),点D坐标是(0,2),
设直线AD的解析式是y=kx+b,则,
解得:,
则直线AD的解析式是y=x+2,
设点P坐标是(x,x+2)
当OP=OC时x2+(x+2)2=16,
解得:x=-1±(不符合,舍去)此时点P(-1+,1+)
当PC=OC时(x+2)2+(4-x)2=16,方程无解;
当PO=PC时,点P在OC的中垂线上,
∴点P横坐标是2,得点P坐标是(2,4);
∴当△POC是等腰三角形时,点P坐标是(-1+,1+)或(2,4);
(3)点M坐标是(,点N坐标是(),∴MN=,
设点P为(x,x+2),Q(x,-x2+3x+4),则PQ=-x2+2x+2
①若PQNM是菱形,则PQ=MN,可得x1=0.5,x2=1.5
当x2=1.5时,点P与点M重合;当x1=0.5时,可求得PM=,所以菱形不存在.
②能成为等腰梯形,作QH⊥MN于点H,作PJ⊥MN于点J,则NH=MJ,
则-(-x2+3x+4)=x+2-,
解得:x=2.5,
此时点P的坐标是(2.5,4.5).
分析:(1)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;
(2)根据勾股定理的逆定理,即可证得△BDC是直角三角形;分OP=OC,PC=OC,OPO=PC三种情况即可求得P的坐标;
(3)设点P为(x,x+2)Q(x,-x2+3x+4),则PQ=-x2+2x+2,根据PQNM是菱形,则PQ=MN,即可求得PM的长,判断是否成立,从而确定;根据②的解法即可确定P的坐标.
点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式,和菱形,等腰梯形的判定.
可得,
解得,
∴y=-x2+3x+4;
(2)△BDC是直角三角形,
∵BD2=BO2+DO2=5,DC2=DO2+CO2=20,BC2=(BO+CO)2=25
∴BD2+DC2=BC2,
∴△BDC是直角三角形.
点A坐标是(-2,0),点D坐标是(0,2),
设直线AD的解析式是y=kx+b,则,
解得:,
则直线AD的解析式是y=x+2,
设点P坐标是(x,x+2)
当OP=OC时x2+(x+2)2=16,
解得:x=-1±(不符合,舍去)此时点P(-1+,1+)
当PC=OC时(x+2)2+(4-x)2=16,方程无解;
当PO=PC时,点P在OC的中垂线上,
∴点P横坐标是2,得点P坐标是(2,4);
∴当△POC是等腰三角形时,点P坐标是(-1+,1+)或(2,4);
(3)点M坐标是(,点N坐标是(),∴MN=,
设点P为(x,x+2),Q(x,-x2+3x+4),则PQ=-x2+2x+2
①若PQNM是菱形,则PQ=MN,可得x1=0.5,x2=1.5
当x2=1.5时,点P与点M重合;当x1=0.5时,可求得PM=,所以菱形不存在.
②能成为等腰梯形,作QH⊥MN于点H,作PJ⊥MN于点J,则NH=MJ,
则-(-x2+3x+4)=x+2-,
解得:x=2.5,
此时点P的坐标是(2.5,4.5).
分析:(1)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;
(2)根据勾股定理的逆定理,即可证得△BDC是直角三角形;分OP=OC,PC=OC,OPO=PC三种情况即可求得P的坐标;
(3)设点P为(x,x+2)Q(x,-x2+3x+4),则PQ=-x2+2x+2,根据PQNM是菱形,则PQ=MN,即可求得PM的长,判断是否成立,从而确定;根据②的解法即可确定P的坐标.
点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式,和菱形,等腰梯形的判定.
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