题目内容
已知△ABC是等边三角形,点P是AC上一点,PE⊥BC于点E,交AB于点F,在CB的延长线上截取BD=PA,PD交AB于点I,PA=nPC.(1)如图1,若n=1,则
EB |
BD |
FI |
ED |
(2)如图2,若∠EPD=60°,试求n和
FI |
ED |
(3)如图3,若点P在AC边的延长线上,且n=3,其他条件不变,则
EB |
BD |
分析:(1)①由题意,在直角△BEF中,∠F=30°,则BE=
BF,又由∠BAC=∠F+∠APF=60°,可得AF=AP=BD=
AB,BD=
BF,即可得出;②如图一,作PG∥BC,IH∥BC,可得IH=
FI,易证△PGI≌△DBI,则DI=PI,在△PDE中,IH是中位线,可得IH=
DE,即可得出;
(2)连BP,且过P作PM⊥AB于M,过P点作PN∥BC交AB于N,可得ANP为等边三角形,△PNI≌△DBI(AAS),根据等边三角形的性质和全等三角形的性质,可得BI=BD,即
a=an,即可得出n的值;在△AMP中可得AM=
an,BM=BE=a+an-
an=a+
an,BE=a+an-
a=
a+an,由∠EPC=∠APF=30°,而∠CAF=120°,∠F=30°,则AF=AP=an,FI=2an+
a,即可求出;
(3)根据(1)的推理原理,即可推出结果.
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(2)连BP,且过P作PM⊥AB于M,过P点作PN∥BC交AB于N,可得ANP为等边三角形,△PNI≌△DBI(AAS),根据等边三角形的性质和全等三角形的性质,可得BI=BD,即
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(3)根据(1)的推理原理,即可推出结果.
解答:解:(1)①∵等边三角形ABC,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=AC=BC,
∵EF⊥BC,
∴在直角△BEF中,∠F=30°,
∴BE=
BF,
∵PA=nPC,n=1,
∴2PA=AB,
又∵∠BAC=∠F+∠APF=60°,
∴AF=AP=BD=
AB,
∴BD=
BF,
∵BE=
BF,
∴
=
;
②如图1,作PG∥BC,IH∥BC,
∴IH=
FI,
易证△PGI≌△DBI,则DI=PI,
∴在△PDE中,IH是中位线,
∴IH=
DE,
∴
=1;
故答案为:
;1.
(2)如图2,设PC=a,则PA=an;连BP,且过P作PM⊥AB于M;
过P点作PN∥BC交AB于N,
可判断ANP为等边三角形,
所以AP=PN=AN,
∴△PNI≌△DBI(AAS),
∴IB=
a,
又∵∠PED=90°,
∴∠D=∠BID=30°,
∴BI=BD,即
a=an,
∴n=
,
在△AMP中可得AM=
an,
∴BM=a+an-
an=a+
an,
BE=a+an-
a=
a+an,
又∵DB=PA,
∴DE=
a+an+an=2an+
a,
又∵∠EPC=∠APF=30°,
而∠CAF=120°,∠F=30°,
∴AF=AP=an,
∴FI=2an+
a,
∴
=
=1;
(3)∵等边三角形ABC,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=AC=BC,
∵EF⊥BC,
∴在直角△BEF中,∠F=30°,
∴BE=
BF,
∵PA=nPC,n=3,
∴PA=
AB,
又∵∠BAC=∠F+∠APF=60°,
∴AF=AP=BD=
AB,
∴BD=
BF,
∵BE=
BF,
∴
=
.
故答案为:
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=AC=BC,
∵EF⊥BC,
∴在直角△BEF中,∠F=30°,
∴BE=
1 |
2 |
∵PA=nPC,n=1,
∴2PA=AB,
又∵∠BAC=∠F+∠APF=60°,
∴AF=AP=BD=
1 |
2 |
∴BD=
1 |
3 |
∵BE=
1 |
2 |
∴
EB |
BD |
3 |
2 |
②如图1,作PG∥BC,IH∥BC,
∴IH=
1 |
2 |
易证△PGI≌△DBI,则DI=PI,
∴在△PDE中,IH是中位线,
∴IH=
1 |
2 |
∴
FI |
ED |
故答案为:
3 |
2 |
(2)如图2,设PC=a,则PA=an;连BP,且过P作PM⊥AB于M;
过P点作PN∥BC交AB于N,
可判断ANP为等边三角形,
所以AP=PN=AN,
∴△PNI≌△DBI(AAS),
∴IB=
1 |
2 |
又∵∠PED=90°,
∴∠D=∠BID=30°,
∴BI=BD,即
1 |
2 |
∴n=
1 |
2 |
在△AMP中可得AM=
1 |
2 |
∴BM=a+an-
1 |
2 |
1 |
2 |
BE=a+an-
1 |
2 |
1 |
2 |
又∵DB=PA,
∴DE=
1 |
2 |
1 |
2 |
又∵∠EPC=∠APF=30°,
而∠CAF=120°,∠F=30°,
∴AF=AP=an,
∴FI=2an+
1 |
2 |
∴
FI |
ED |
2an+
| ||
2an+
|
(3)∵等边三角形ABC,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=AC=BC,
∵EF⊥BC,
∴在直角△BEF中,∠F=30°,
∴BE=
1 |
2 |
∵PA=nPC,n=3,
∴PA=
2 |
3 |
又∵∠BAC=∠F+∠APF=60°,
∴AF=AP=BD=
2 |
3 |
∴BD=
5 |
3 |
∵BE=
1 |
2 |
∴
EB |
BD |
5 |
6 |
故答案为:
5 |
6 |
点评:本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质,关键在于推出BD=
AB,BD=
BF;推出相关三角形全等.
1 |
2 |
1 |
3 |
练习册系列答案
相关题目