Question

已知直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=DC=

1

2

AB，E是AB的中点．
（1）求证：四边形AECD是正方形；
（2）求∠B的度数．

Answer 1

分析：（1）根据E是AB的中点，得AE=BE，因为AB∥DC，所以四边形AECD是平行四边形，而∠DAB=90°，所以四边形AECD是矩形，又因为AD=CD，所以四边形AECD是正方形；
（2）根据（1）得到∠CAE=45°，而E是AB的中点，CE⊥AE，所以CE是AB的垂直平分线，最后∠B的度数就可求．

解答：（1）证明：∵E是AB的中点，
∴AE=

1

2

AB=DC，（1分）
∵AB∥DC，
∴AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，（3分）
∵∠DAE=90°，
∴平行四边形AECD是矩形，（4分）
∵AD=DC，
∴矩形AECD是正方形．（5分）

（2）解：∵四边形AECD是正方形，
∴∠CAE=45°，（6分）
∵E是AB的中点，CE⊥AE，
∴CE垂直平分AB，
∴△ACB是等腰三角形，（7分）
∴∠B=∠CAE=45°（8分）

点评：此题考查正方形的性质及判定方法等的综合运用．