Question

已知直角梯形ABCD中AD∥BC，∠B=90°，AB=8，AD=24，BC=26，点P从A点出发，沿AD边以1的速度向点D运动，点Q从点C开始沿CB边以3的速度向点B运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t．
（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？

Answer 1

分析：（1）由当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，可得方程24-t=3t，解此方程即可求得答案；
（2）首先过D作DE⊥BC于E，可求得EC的长，又由当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，即3t-（24-t）=4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案．

解答：解：根据题意得：PA=t，CQ=3t，则PD=AD-PA=24-t．
（1）∵AD∥BC，
即PD∥CQ，
∴当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
即24-t=3t，
解得：t=6，
即当t=6时，四边形PQCD为平行四边形；

（2）过D作DE⊥BC于E，
则四边形ABED为矩形，
∴BE=AD=24cm，
∴EC=BC-BE=2cm，
当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形，如图所示：
过点P作PF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，
则四边形PDEF是矩形，
∴EF=PD，PF=DE，
在Rt△PQF和Rt△CDE中，

PF=DE PQ=DC

，
∴Rt△PQF≌Rt△CDE（HL），
∴QF=CE，
∴QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，
即3t-（24-t）=4，
解得：t=7，
即当t=7时，四边形PQCD为等腰梯形．

点评：此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．