题目内容
已知直角梯形ABCD如图放置在平面直角坐标系中,∠DCB=30°,AB边在y轴上,点D的横坐标为6,CQ⊥x轴,垂足为Q,点Q的横坐标为12,过CD的直线l交x轴于点E,E点坐标为(18,0).
(1)求直线l的解析式,以及点A和点B的坐标;
(2)P为线段CD上一动点,连结PQ、OP,探究△POQ的周长,并求出当周长最小时,P的坐标及此时的该三角形的周长;
(3)点N从点Q(12,0)出发,沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动,同时另一动点M从点B开始沿B-C-D-A的方向绕梯形ABCD运动,运动速度为每秒为2个单位长度,当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动,设运动时间为t秒,连结MO和MN,试探究当t为何值时MO=MN.
(1)求直线l的解析式,以及点A和点B的坐标;
(2)P为线段CD上一动点,连结PQ、OP,探究△POQ的周长,并求出当周长最小时,P的坐标及此时的该三角形的周长;
(3)点N从点Q(12,0)出发,沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动,同时另一动点M从点B开始沿B-C-D-A的方向绕梯形ABCD运动,运动速度为每秒为2个单位长度,当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动,设运动时间为t秒,连结MO和MN,试探究当t为何值时MO=MN.
分析:(1)根据AD∥BC,可得∠DEO=∠DCB=30°,设OF=x,则EF=2x,在Rt△EFO中,利用勾股定理可解出x,继而得出点F的坐标,利用待定系数法可确定EF的解析式,求出点D的纵坐标,点C的纵坐标后,可得点A和点B的坐标;
(2)根据轴对称的性质,作点Q关于直线EF的对称点,连接OQ',则OQ'与CD的交点即是点P的位置,易判断△Q'QE是等边三角形,从而根据△POQ的周长的周长=OQ+OQ',即可求出答案.
(3)分三段讨论,①点M在线段BC上,②点M在线段CD上,③点M在线段DA上,分别根据等腰三角形三线合一的性质得出关于t的方程,解出后结合实际判断即可得出答案,一定要分清是点M还是点N先到达终点.
(2)根据轴对称的性质,作点Q关于直线EF的对称点,连接OQ',则OQ'与CD的交点即是点P的位置,易判断△Q'QE是等边三角形,从而根据△POQ的周长的周长=OQ+OQ',即可求出答案.
(3)分三段讨论,①点M在线段BC上,②点M在线段CD上,③点M在线段DA上,分别根据等腰三角形三线合一的性质得出关于t的方程,解出后结合实际判断即可得出答案,一定要分清是点M还是点N先到达终点.
解答:解:(1)∵∠DCB=30°,
∴∠DEO=30°,
设OF=x,则EF=2x,
在Rt△EFO中,OF2+OE2=EF2,即x2+182=(2x)2,
解得:x=6
,
∴OF=6
,则F(0,6
),
设直线l的解析式为y=ax+b(a≠0),经过E(18,0)、F(0,6
)两点,
则
,
解得:
,
∴y=-
x+6
,
当x=6时,y=4
;当x=12时,y=2
,
∴A(0,4
),B(0,2
).
(2)如图:作点Q关于直线EF的对称点,连接OQ',则OQ'与CD的交点即是点P的位置,
易证△Q'QE为等边三角形,则Q'(15,3
),
∴LOQ':y=
x,
∴
,
解得:
,
∴P(
,
),
∴C△OPQ=12+
=12+6
.
(3)①当点M在线段BC上时0≤t≤6,BM=2t,OQ=12-t,
根据三线合一得:2(2t)=12-t,
解得:t=
s,
②当点M在CD上时,
由于CD=4
,所以6<t≤6+2
,而此时点N已经向左运动超过了点(6,0),
所以在CD上不可能存在点M.
③点M在DA上运动时,6+2
<t<12,(注意,点N先到达终点,因而只能运动12秒就停止了).
AM=18+4
-2t,ON=12-t,
根据三线合一得:2(18+4
-2t)=12-t,
解得:t=
>12s,所以在DA上不可能存在点M.
但当t=12时MO=MN(此时点N与点O重合).
综上可得:t=
s或t=12s时MO=MN.
∴∠DEO=30°,
设OF=x,则EF=2x,
在Rt△EFO中,OF2+OE2=EF2,即x2+182=(2x)2,
解得:x=6
3 |
∴OF=6
3 |
3 |
设直线l的解析式为y=ax+b(a≠0),经过E(18,0)、F(0,6
3 |
则
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解得:
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∴y=-
| ||
3 |
3 |
当x=6时,y=4
3 |
3 |
∴A(0,4
3 |
3 |
(2)如图:作点Q关于直线EF的对称点,连接OQ',则OQ'与CD的交点即是点P的位置,
易证△Q'QE为等边三角形,则Q'(15,3
3 |
∴LOQ':y=
| ||
5 |
∴
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解得:
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∴P(
45 |
4 |
9
| ||
4 |
∴C△OPQ=12+
152+(3
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(3)①当点M在线段BC上时0≤t≤6,BM=2t,OQ=12-t,
根据三线合一得:2(2t)=12-t,
解得:t=
12 |
5 |
②当点M在CD上时,
由于CD=4
3 |
3 |
所以在CD上不可能存在点M.
③点M在DA上运动时,6+2
3 |
AM=18+4
3 |
根据三线合一得:2(18+4
3 |
解得:t=
24+8
| ||
3 |
但当t=12时MO=MN(此时点N与点O重合).
综上可得:t=
12 |
5 |
点评:本题考查了一次函数的综合,涉及了待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质及轴对称求最短路径的知识,解答本题需要同学们具有扎实的基本功,注意数形结合思想及分类讨论思想的运用,难度较大.
练习册系列答案
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A、
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B、
| ||||
C、
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D、3 |