题目内容
【题目】△ABC是等边三角形，点C关于AB对称的点为C′，点P是直线C′B上的一个动点，连接AP，作∠APD＝60°交射线BC于点D．
（1）若点P在线段C′B上（不与点C′，点B重合）
①如图1，当点P是线段C′B的中点时，直接写出线段PD与线段PA的数量关系 ．
②如图2，点P是线段C′B上任意一点，证明PD与PA的数量关系．
（2）若点P在线段C′B的延长线上，
①依题意补全图3；
②直接写出线段BD，AB，BP之间的数量关系为： ．
【答案】（1）①PD＝PA；②详见解析；（2）①详见解析；②BD＝BP+AB．
【解析】
（1）①如图1中，连接AC′，可证△ABC′是等边三角形，由PB＝PC′，推出PA⊥BC′，可求∠BDP＝∠BPD＝30°，可得PB＝PD，由“SAS”可证△ABD≌△ABP，可得AP＝AD，由等边三角形的性质可求解；
②如图2中，作∠BPE＝60°交AB于点E，只要证明△PBD≌△PEA（ASA）即可解决问题；
（2）①根据要求画出图形即可解决问题；
②结论：BD＝BP+AB．如图3中，在BD上取一点E，使得BE＝PB．只要证明△BPA≌△EPD（SAS），即可解决问题．
（1）①解：如图1中，连接AC′．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵点C'与点C关于AB对称，
∴∠C'BA＝∠CBA＝60°，BC′＝BC＝BA，
∴△ABC′是等边三角形，
∵PB＝PC′，
∴PA⊥BC′，且∠APD＝60°，
∴∠BPD＝30°，且∠PBD＝120°
∴∠BDP＝∠BPD＝30°，
∴PB＝BD，且∠ABC＝∠ABC'＝60°，AB＝AB，
∴△ABD≌△ABP（SAS）
∴AP＝AD，且∠APD＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AP＝PD，
故答案为AP＝PD．
②证明：如图2中，作∠BPE＝60°交AB于点E．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵点C'与点C关于AB对称，
∴∠C'BA＝∠CBA＝60°＝∠BPE，
∴∠PEB＝60°．
∴△PBE是等边三角形，
∴PB＝PE，AEP＝120°＝∠PBD．
∵∠BPD+∠DPE＝60°，∠APE+∠DPE＝60°，
∴∠BPD＝∠APE，
在△PBD和△PEA中，
∴△PBD≌△PEA（ASA）．
∴PD＝PA．
（2）①解：补全图形，如图3所示：
②解：结论：BD＝BP+AB．
理由：如图3中，在BD上取一点E，使得BE＝PB．
∵∠EBP＝60°，BE＝BP，
∴△EBP是等边三角形，
由（1）可知：△PAD是等边三角形，
∴∠BPE＝∠APD＝60°，
∴∠APB＝∠EPD，
∵PB＝PE，PA＝PD，
∴△BPA≌△EPD（SAS），
∴AB＝DE，
∴BD＝BE+ED＝BP+AB．
故答案为BD＝BP+AB．
