Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为点，与轴交于点，与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，，．

（）求这个二次函数的表达式．

（）经过、两点的直线，与轴交于点，在该抛物线上是否存在这样的点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（）如图，若点是该抛物线上一点，点是直线下方的抛物线上一动点，当点运动到什么位置时，的面积最大?求出此时点的坐标和的最大面积．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）存在点，坐标为；（3），最大为．

【解析】

（1）求二次函数的表达式，需要求出A、B、C三点坐标．已知B点坐标，且OB=OC，可知C（0，3），．则A坐标为（-1，0）．将A，B，C三点坐标代入关系式，可求得二次函数的表达式．
（2）已知抛物线关系式，求出顶点D坐标，求出直线CD，E是直线与x轴交点，可得E点坐标．四边形AECF为平行四边形，则，∥,即可求出点F的坐标.
（3）G在抛物线上，代入解析式求出G点坐标，过点作轴的平行线与交于点，设，则，可求出线段PQ的长度，，然后求当面积最大时x的值．

（）由已知得：，，

将，，三点的坐标代入，得，

∴．

（）存在．

∵，

∴直线的解析式为：，

∴点的坐标为，

由、、、四点的坐标得：，∥,

∴以、、、为顶点，的四边形为平移四边形，

∴存在点，坐标为．

（）过点作轴的平行线与交于点，易得，直线为，

设，则，

，，

当时，最大，此时，最大为．