Question

在平面直角坐标系中，矩形OABC过原点O，且A（0，2）、C（6，0），∠AOC的平分线交AB于点D．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）如图，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒．

①当t为何值时，△OPQ的面积等于1；
②当t为何值时，△PQB为直角三角形；
（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=-（x-t）²+t（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（6，2）；（2）1，当t=2或t=5+或t=5-；（3）t₁=，t₂=2．

试题分析：（1）根据题意知B点坐标为（6，2）；
（2）①可设t秒后△OPQ的面积等于1，则有P（，t）Q（2t，0），根据三角形的面积即可计算出t的值；
②要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得出PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t²，再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的t值即可；
(3)存在这样的t值，若将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形，根据平行四边形的性质和对称性可求出t的值．
试题解析：（1）根据题意知B点坐标为（6，2）；
(2)①设t秒后△OPQ的面积等于1，则有P（，t）Q（2t，0），则有：
×t×2t=1
解得：t=1或-1（舍去）
故1秒后△OPQ的面积等于1
②要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°．
如图1，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，

∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°，
∵OP=t，∴OG=PG=t，
∴点P（t，t）
又∵Q（2t，0），B（6，2），
根据勾股定理可得：PB²=（6-t）2+（2-t）2，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t²，
①若∠PQB=90°，则有PQ²+BQ²=PB²，
即：2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，
整理得：4t²-8t=0，
解得：t₁=0（舍去），t₂=2，
∴t=2，
②若∠PBQ=90°，则有PB²+QB²=PQ²，
∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，
整理得：t²-10t+20=0，
解得：t=5±．
∴当t=2或t=5+或t=5-时，△PQB为直角三角形．
（3）存在这样的t值，理由如下：
将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，
则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形．
∵PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（t，t），
∵点B坐标为（6，2），∴点B′的坐标为（3t-6，t-2），
代入y=-（x-t）²+t，得：2t²-13t+18=0，
解得：t₁=，t₂=2．
考点: 二次函数综合题．