Question

已知关于x的方程x²-2x-2n=0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．

Answer 1

解：（1）∵关于x的方程x²-2x-2n=0的二次项系数a=1、一次项系数b=-2、常数项c=-2n，
∴△=b²-4ac=4+8n＞0，
解得n＞-；

（2）由原方程，得
（x-1）²=2n+1，
解得x=1±；
∵方程的两个实数根都是整数，且-＜n＜5，不是负数，
∴0＜2n+1＜11，且2n+1是完全平方形式，
∴2n+1=1，2n+1=4或2n+1=9，
解得n=0，n=1.5或n=4．
分析：（1）关于x的方程x²-2x-2n=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b²-4ac＞0．即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围；
（2）利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值．
点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．