Question

已知：如图，抛物线y=-

4

5

x2+mx+4与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，（点A在点B的左侧）且满足OC=4OA．设抛物线的对称轴与x轴交于点M：
（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）联接CM，点Q是射线CM上的一个动点，当△QMB与△COM相似时，求直线AQ的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）令x=0求出点C的坐标，再求出OA的长度，然后写出点A的坐标，代入抛物线求出m的值，即可得解，再利用对称轴解析式求出点M的坐标即可；
（2）求出OM的长，再利用勾股定理列式求出CM，令y=0，解关于x的一元二次方程求出点B的坐标，得到OB的长度，再求出BM，然后分①∠BQM=90°时，△COM和△BQM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ，过点Q作QD⊥x轴于D，解直角三角形求出BD、QD，然后求出OD，从而写出点Q的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答；②∠MBQ=90°时，△COM和△QBM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ，再写出点Q的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答．

解答：解：（1）令x=0，则y=4，
∴点C（0，4），
OC=4，
∵OC=4OA，
∴OA=1，
∴点A（-1，0），
把点A坐标代入抛物线y=-

4

5

x²+mx+4得，-

4

5

×（-1）²+m×（-1）+4=0，
解得m=

16

5

，
∴抛物线解析式为y=-

4

5

x²+

16

5

x+4，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

16 4

2×(- 4 5 )

=2，
∴点M的坐标为（2，0）；

（2）∵OM=2，OC=4，
∴CM=

22+42

=2

5

，
令y=0，则-

4

5

x²+

16

5

x+4=0，
整理得x²-4x-5=0，
解得x₁=-1，x₂=5，
∴点B的坐标为（5，0），
∴OB=5，
∴BM=OB-OM=5-2=3，
如图，①∠BQM=90°时，△COM和△BQM相似，
∴

CO

BQ

=

CM

BM

，
即

4

BQ

=

2 5

3

，
解得BQ=

6 5

5

，
过点Q作QD⊥x轴于D，
则BD=BQ•cos∠QBM=

6 5

5

×

4

2 5

=

12

5

，QD=BQ•sin∠QBM=

6 5

5

×

2

2 5

=

6

5

，
∴OD=OB-BD=5-

12

5

=

13

5

，
∴点Q的坐标为（

13

5

，-

6

5

），
设直线AQ的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-k+b=0 13 5 k+b=- 6 5

，
解得

k=- 1 3 b=- 1 3

，
∴直线AQ的解析式为y=-

1

3

x-

1

3

；

②∠MBQ=90°时，△COM和△QBM相似，
∴

CO

BQ

=

OM

BM

，
即

4

BQ

=

2

3

，
解得BQ=6，
∴点Q的坐标为（5，-6），
设直线AQ的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-k+b=0 5k+b=-6

，
解得

k=-1 b=-1

，
∴直线AQ的解析式为y=-x-1；
综上所述，当△QMB与△COM相似时，直线AQ的解析式为y=-

1

3

x-

1

3

或y=-x-1．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质，解直角三角形，难点在于（2）要分情况讨论．