题目内容
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(1)求抛物线的解析式及点M的坐标;
(2)联接CM,点Q是射线CM上的一个动点,当△QMB与△COM相似时,求直线AQ的解析式.
考点:二次函数综合题
专题:压轴题
分析:(1)令x=0求出点C的坐标,再求出OA的长度,然后写出点A的坐标,代入抛物线求出m的值,即可得解,再利用对称轴解析式求出点M的坐标即可;
(2)求出OM的长,再利用勾股定理列式求出CM,令y=0,解关于x的一元二次方程求出点B的坐标,得到OB的长度,再求出BM,然后分①∠BQM=90°时,△COM和△BQM相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ,过点Q作QD⊥x轴于D,解直角三角形求出BD、QD,然后求出OD,从而写出点Q的坐标,再利用待定系数法求一次函数解析式解答;②∠MBQ=90°时,△COM和△QBM相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ,再写出点Q的坐标,然后利用待定系数法求一次函数解析式解答.
(2)求出OM的长,再利用勾股定理列式求出CM,令y=0,解关于x的一元二次方程求出点B的坐标,得到OB的长度,再求出BM,然后分①∠BQM=90°时,△COM和△BQM相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ,过点Q作QD⊥x轴于D,解直角三角形求出BD、QD,然后求出OD,从而写出点Q的坐标,再利用待定系数法求一次函数解析式解答;②∠MBQ=90°时,△COM和△QBM相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ,再写出点Q的坐标,然后利用待定系数法求一次函数解析式解答.
解答:解:(1)令x=0,则y=4,
∴点C(0,4),
OC=4,
∵OC=4OA,
∴OA=1,
∴点A(-1,0),
把点A坐标代入抛物线y=-
x2+mx+4得,-
×(-1)2+m×(-1)+4=0,
解得m=
,
∴抛物线解析式为y=-
x2+
x+4,
∵抛物线的对称轴为直线x=-
=2,
∴点M的坐标为(2,0);
(2)∵OM=2,OC=4,
∴CM=
=2
,
令y=0,则-
x2+
x+4=0,
整理得x2-4x-5=0,
解得x1=-1,x2=5,
∴点B的坐标为(5,0),
∴OB=5,
∴BM=OB-OM=5-2=3,
如图,①∠BQM=90°时,△COM和△BQM相似,
∴
=
,![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201401/148/dd9bd5f0.png)
即
=
,
解得BQ=
,
过点Q作QD⊥x轴于D,
则BD=BQ•cos∠QBM=
×
=
,QD=BQ•sin∠QBM=
×
=
,
∴OD=OB-BD=5-
=
,
∴点Q的坐标为(
,-
),
设直线AQ的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
,
解得
,
∴直线AQ的解析式为y=-
x-
;
②∠MBQ=90°时,△COM和△QBM相似,
∴
=
,
即
=
,
解得BQ=6,
∴点Q的坐标为(5,-6),
设直线AQ的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
,
解得
,
∴直线AQ的解析式为y=-x-1;
综上所述,当△QMB与△COM相似时,直线AQ的解析式为y=-
x-
或y=-x-1.
∴点C(0,4),
OC=4,
∵OC=4OA,
∴OA=1,
∴点A(-1,0),
把点A坐标代入抛物线y=-
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4 |
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解得m=
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∴抛物线解析式为y=-
4 |
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16 |
5 |
∵抛物线的对称轴为直线x=-
| ||
2×(-
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∴点M的坐标为(2,0);
(2)∵OM=2,OC=4,
∴CM=
22+42 |
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令y=0,则-
4 |
5 |
16 |
5 |
整理得x2-4x-5=0,
解得x1=-1,x2=5,
∴点B的坐标为(5,0),
∴OB=5,
∴BM=OB-OM=5-2=3,
如图,①∠BQM=90°时,△COM和△BQM相似,
∴
CO |
BQ |
CM |
BM |
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201401/148/dd9bd5f0.png)
即
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BQ |
2
| ||
3 |
解得BQ=
6
| ||
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过点Q作QD⊥x轴于D,
则BD=BQ•cos∠QBM=
6
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4 | ||
2
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2 | ||
2
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∴OD=OB-BD=5-
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∴点Q的坐标为(
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设直线AQ的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
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解得
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∴直线AQ的解析式为y=-
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②∠MBQ=90°时,△COM和△QBM相似,
∴
CO |
BQ |
OM |
BM |
即
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BQ |
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解得BQ=6,
∴点Q的坐标为(5,-6),
设直线AQ的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
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解得
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∴直线AQ的解析式为y=-x-1;
综上所述,当△QMB与△COM相似时,直线AQ的解析式为y=-
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点评:本题是二次函数综合题型,主要利用了抛物线与坐标轴的交点坐标的求法,待定系数法求二次函数解析式,待定系数法求一次函数解析式,相似三角形的性质,解直角三角形,难点在于(2)要分情况讨论.
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练习册系列答案
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已知二次函数y=a(x-1)2-a(x-1)(a为常数,且a≠0),图象的顶点为C.以下三个判断:①无论a为何值,该函数的图象与x轴一定有两个交点;②无论a为何值,该函数的图象在x轴上截得的线段长为1;③若该函数的图象与x轴有两个交A、B,且S△ABC=1时,则a=8.其中,正确的是( )
A、①② | B、②③ | C、①③ | D、①②③ |
写出下列的代数式中,错误的是( )
A、x,y的平方差是:x2-y2 | ||||
B、甲数是a,甲数是乙数的
| ||||
C、x的3倍与y的35%的和:3x+35%y | ||||
D、x除以y与3的和的平方:(
|
有下列方程:①
=2;②
=
;③
=
+1;④
=1.其中是分式方程的有( )
x+1 |
3 |
2 |
x-1 |
1 |
x+3 |
x+2 |
3 |
x-1 |
4 |
2 |
x+3 |
A、1个 | B、2个 | C、3个 | D、4个 |