题目内容

如图，平面直角坐标系中，直线y=- $数学公式$ x+8分别交x轴、y轴于点B、点A，点D从点A出发沿射线AB方向以每秒1个单位长的速度匀速运动，同时点E从点B出发沿射线BC方向以每秒 $数学公式$ 个单位长的速度匀速运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥AO于点F，连接DE、EF
（1）当t为何值时，△BDE与△BAO相似；
（2）写出以点D、F、E、O为顶点的四边形面积s与运动时间t之间的函数关系；
（3）是否存在这样一个时刻，此时以点D、F、E、B为顶点的四边形是菱形？如果存在，求出相应的t的值；如果不存在，请说明理由．

解：（1）∵直线y=- $\text{[math]}$ x+8分别交x轴、y轴于点B、点A，
∴OB=6，OA=8，
则AD=t，BE= $\text{[math]}$ t，BD=10-t，
∵△BDE与△BAO具有公共角∠ABO．
∴当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时两三角形相似．
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

解得t=5或 $\text{[math]}$ ，
∴当t为5或 $\text{[math]}$ 时，△BDE与△BAO相似．

（2）①当点D在线段AB上时，
∵DF⊥OA，BO⊥AO，∴DF∥BE，∴△ADF∽△ABO，
∴DF：BO=AD：AB=AF：OA，∴DF= $\text{[math]}$ t，AF= $\text{[math]}$ ，
∴BE=DF，∴四边形DFEB为平行四边形，S_△DEF=S_△BEF= $\text{[math]}$ S_DFEB，
∴四边形OFDE的面积等于△BOF的面积，
∴s= $\text{[math]}$ BO•OF= $\text{[math]}$ ×6×（8- $\text{[math]}$ t）=24- $\text{[math]}$ t（0＜t≤10）．
②当点D在AB的延长线上时，四边形OEFD为梯形，
s= $\text{[math]}$ （OE+DF）•OF= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ t-6+ $\text{[math]}$ t）× $\text{[math]}$ （t-10）= $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t+24（t＞10）；

（3）①当点D在线段AB上时，已知四边形DFEB为平行四边形，只需保证BD=BE，
即可保证四边形DFEB是菱形，
即10-t= $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ．
②当点D在AB的延长线上时，易证四边形BEFD为平行四边形，只需保证BD=BE，
即可保证四边形DFEB是菱形，
即t-10 $\text{[math]}$ t，
解得t=25．
综上所述，当t的值为 $\text{[math]}$ 或25时，以点D、F、E、B为顶点的四边形是菱形．
分析：（1）根据当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时两三角形相似，进而求出t的值，即可得出答案；
（2）分别根据①当点D在线段AB上时，②当点D在AB的延长线上时，四边形OEFD为梯形，进而求出s与t的函数关系即可；
（3）根据（2）中图形，利用菱形的判定得出t的值即可．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定和梯形的面积求法等知识，利用分类讨论得出t的值是解题关键．