Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC于F，D为

AC

的中点，E是BA延长线上一点，若∠DAE=120°，则∠CAD=

40°

．

Answer 1

分析：根据垂径定理由AO⊥BC得

AB

=

AC

，根据圆周角定理得∠ABC=∠ACB，而由

AD

=

CD

得∠CAD=∠ACD，所以

AB

=2

AD

，∠ACB=2∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得到∠BCD=120°，于是∠ACD=

1

3

×120°=40°，从而得到∠CAD的度数．

解答：解：∵AO⊥BC，
∴

AB

=

AC

，
∴∠ABC=∠ACB，
∵D为

AC

的中点，
∴

AD

=

CD

，
∴∠CAD=∠ACD，
∴

AB

=2

AD

，
∴∠ACB=2∠ACD，
又∵∠DAE=120°，
∴∠BCD=120°，
∴∠ACD=

1

3

×120°=40°，
∴∠CAD=40°．
故答案为40°．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理．