题目内容

【题目】如图,已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN.B、D分别在射线AN、AM.

(1)在图1中,当∠ABC=ADC=90°时,求证:AD+AB=AC

(2)若把(1)中的条件ABC=ADC=90°”改为∠ABC+ADC=180°,其他条件不变,如图2所示,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

(图1) (图2)

【答案】(1)证明见解析;(2)(2)结论仍成立.理由见解析

【解析】试题分析:(1)由题中条件可得,∠DCA=∠BCA=30°,在直角三角形中可得AC=2AD,AC=2AB,所以AD+AB=AC.

(2)在AN上截取AE=AC,连接CE,可得△CAE为等边三角形,进而可得△ADC≌△EBC,即DC=BC,DA=BE,进而结论得证.

试题解析:(1)证明:∵∠MAN=120°,AC平分∠MAN,

∴∠DAC=∠BAC=60°

∵∠ABC=∠ADC=90°,

∴∠DCA=∠BCA=30°,

Rt△ACD中,∠DCA=30°,Rt△ACB中,∠BCA=30°

∴AC=2AD,AC=2AB,

∴AD+AB=AC;

(2)解:结论AD+AB=AC成立.

理由如下:在AN上截取AE=AC,连接CE,

∵∠BAC=60°,

∴△CAE为等边三角形,

∴AC=CE,∠AEC=60°,

∵∠DAC=60°,

∴∠DAC=∠AEC,

∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠EBC=180°,

∴∠ADC=∠EBC,

∴△ADC≌△EBC,

∴DC=BC,DA=BE,

∴AD+AB=AB+BE=AE,

∴AD+AB=AC.

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