题目内容

【题目】如图,反比例函数y=的图象经过点(﹣1,-2),点A是该图象第一象限分支上的动点,连结AO并延长交另一分支于点B,以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,顶点C在第四象限,AC与x轴交于点D,当=时,则点C的坐标为

【答案】(2,-)
【解析】连接OC,作AE∥x轴、CE∥y轴,交于点E,连接CE交x轴于F点,如图:
依题可得A、B两点关于原点O对称,
∴OA=OB,
∵△ACB是以AB为斜边的等腰直角三角形,
∴OC=OA=OB,OC⊥AB,
设直线AB解析式为:y=cx(c0),则直线OC的解析式为:y=-x,
∴设A(m,cm)(m> 0),则B(-m,-cm),
∵C在第四象限,
∴C(cm,-m),
又∵AE∥x轴、CE∥y轴,
∴△CAE∽△CDF,
=
=,AC=AD+CD,
==
∴E(cm,cm),F(cm,0),
==
∴c=
∴A(m,m)在反比例函数上,
又∵(-1,-2)在反比例函数上,
∴k=(-1)×(-2)=2
∴2=m2
∵m> 0,
∴m=
∴C(2,-).

【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点,需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题.

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