题目内容

如图,长方形ABCD在平面直角坐标系中,点A(1,8),B(1,6),C(7,6).
(1)请直接写出D点的坐标______.
(2)连接线段OB、OD、BD,请直接求出△OBD的面积______.
(3)若长方形ABCD以每秒1个单位的速度向下运动,设运动的时间为t秒,问是否存在某一时刻,△OBD的面积与长方形ABCD的面积相等?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
(1)∵四边形ABCD是长方形,
∴AB=DC,AD=BC,
∵点A(1,8),B(1,6),C(7,6).
∴ADx轴,ABDCy轴,
∴D的坐标是(7,8),
故答案为:(7,8).

(2)延长AB交x轴于M,延长DC交x轴于N,
∵A(1,8),B(1,6),C(7,6),D(7,8),
∵OM=1,BM=6,DN=8,NM=AD=7-1=6,ON=7,
∴S△OBD=S△BMO+S梯形BMND-S△DNO
=
1
2
×OM×BM+
1
2
×(BM+DN)×MN-
1
2
×DN×ON
=
1
2
×6×1+
1
2
×(6+8)×6-
1
2
×8×7
=17.
故答案为:17.

(3)存在某一时刻,△OBD的面积与长方形ABCD的面积相等,
分为两种情况:

当在第一象限内时,作AE⊥y轴,S矩形ABCD=2×6=12,
则由:S△OBD=S△ODE-S△ABD-S梯形AEOB=12,
7(8-t)
2
-6-
(2+8-t)×1
2
=12,
t=
5
3


当在第四象限时,作BM⊥y轴于M,
则有:S△OBD=S梯形CDOM-S△BCD-S△BOM=12,
7(2+t-6)
2
-6-
1×(t-6)
2
=12,
解得t=
29
2
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