题目内容
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/s的速度，从点B出发，沿B→D的方向，向点D运动；动点Q以3cm/s的速度，从点D出发，沿D→C→B的方向，向点B移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）求△PQD的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
（2）在运动过程中，当t为何值时，△PQD是以∠PDQ为顶角的等腰三角形？并说明：此时，△PQD的面积恰好等于
PQ2．
（3）在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PQD为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
（1）求△PQD的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
（2）在运动过程中，当t为何值时，△PQD是以∠PDQ为顶角的等腰三角形？并说明：此时，△PQD的面积恰好等于
| 1 |
| 2 |
（3）在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PQD为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
（1）∵AB=6cm，BC=8cm，
∴BD=
=
=10，
∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是3cm/m，
∴点P从点B到达点D的时间是10÷2=5秒，
点Q从点D到达点C的时间是6÷3=2秒，
到达点B的时间是（6+8）÷3=
秒，
①如图1①，点Q在CD上时，作PE⊥DC于点E，
则sin∠BDC=
=
，
即
=
，
解得PE=
（5-t），
S△PQD=
×3t•
（5-t）=
t（5-t）=-
t2+12t（0＜t≤2）；
②如图2②，点Q在BC上时，作PE⊥BC于点E，
则sin∠CBD=
=
，
即
=
，
解得PE=
t，
此时，CQ=3t-6，BQ=（6+8）-3t=14-3t，
S△PQD=S△BCD-S△CDQ-S△PBQ，
=
×8×6-
×6（3t-6）-
×（14-3t）×
t，
=24-9t+18-
t+
t2，
=
t2-
t+42（2≤t＜
），
综上所述，S与t的关系式为S=-
t2+12t（0＜t≤2）；
S=
t2-
t+42（2≤t＜
）；
（2）如图2，∵DP=DQ，PB=2t，DQ=3t，BD=10cm，
∴10-2t=3t，
∴t=2，
∴DQ=3t=6，
∴Q点与C点重合，
∴S△PQD=-
t2+12t=
cm2，
做PH⊥DC，
∴PH∥BC，
∴
=
=
，
∵t=2，
∴PD=6cm，
∴
=
=
，
∴PH=
cm，DH=
cm，
∴HQ=HC=6-
=
cm，
∵∠PHC=90°，
∴PQ2=
cm2，
∴
PQ2=
cm2，
即S△PQD=
PQ2；
（3）存在这样的t，使得△PQD为直角三角形，
①如图3，若∠PQD=90°，△PQD为直角三角形，
∵矩形ABCD，
∴PQ∥BC，
∴
=
，
∵PD=10-2t，DQ=3t，BD=10cm，CD=6cm，
∴
=
，
∴t=
，
②如图4，若∠QPD=90°，△PQD为直角三角形，
∴QP⊥BD，
∴PD2=PQ2=DQ2，
∵P点的运动速度为2cm/秒，Q点的运动速度为3cm/秒，
∴BP=2t，CD+CQ=3t，
∵CD=6cm，BD=10cm，BC=8cm，
∴DP=10-2t，BQ=14-3t，CQ=3t-6，
∵∠C=90°，PQ⊥BD，
∴PD2=（10-2t）2=100-40t+4t2，
PQ2=BQ2-BP2=（14-3t）2-（2t）2=196-84t+5t2，
DQ2=CD2+CQ2=62+（3t-6）2=72+9t2-36t，
∵PD2=PQ2=DQ2，
∴100-40t+4t2+196-84t+5t2=72+9t2-36t，
解方程得：t=
，
∴当t=
或者t=
时，△PQD为直角三角形．
∴BD=
| AB2+BC2 |
| 62+82 |
∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是3cm/m，
∴点P从点B到达点D的时间是10÷2=5秒，
点Q从点D到达点C的时间是6÷3=2秒，
到达点B的时间是（6+8）÷3=
| 14 |
| 3 |
①如图1①，点Q在CD上时，作PE⊥DC于点E，
则sin∠BDC=
| PE |
| PD |
| BC |
| BD |
即
| PE |
| 10-2t |
| 8 |
| 10 |
解得PE=
| 8 |
| 5 |
S△PQD=
| 1 |
| 2 |
| 8 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
②如图2②，点Q在BC上时，作PE⊥BC于点E，
则sin∠CBD=
| PE |
| PB |
| CD |
| BD |
即
| PE |
| 2t |
| 6 |
| 10 |
解得PE=
| 6 |
| 5 |
此时，CQ=3t-6，BQ=（6+8）-3t=14-3t，
S△PQD=S△BCD-S△CDQ-S△PBQ，
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
=24-9t+18-
| 42 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
=
| 9 |
| 5 |
| 87 |
| 5 |
| 14 |
| 3 |
综上所述，S与t的关系式为S=-
| 12 |
| 5 |
S=
| 9 |
| 5 |
| 87 |
| 5 |
| 14 |
| 3 |
（2）如图2，∵DP=DQ，PB=2t，DQ=3t，BD=10cm，
∴10-2t=3t，
∴t=2，
∴DQ=3t=6，
∴Q点与C点重合，
∴S△PQD=-
| 12 |
| 5 |
| 72 |
| 5 |
做PH⊥DC，
∴PH∥BC，
∴
| PH |
| BC |
| DH |
| DC |
| PD |
| BD |
∵t=2，
∴PD=6cm，
∴
| PH |
| 8 |
| DH |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
∴PH=
| 24 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
∴HQ=HC=6-
| 18 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
∵∠PHC=90°，
∴PQ2=
| 144 |
| 5 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 72 |
| 5 |
即S△PQD=
| 1 |
| 2 |
（3）存在这样的t，使得△PQD为直角三角形，
①如图3，若∠PQD=90°，△PQD为直角三角形，
∵矩形ABCD，
∴PQ∥BC，
∴
| DQ |
| DC |
| DP |
| DB |
∵PD=10-2t，DQ=3t，BD=10cm，CD=6cm，
∴
| 10-2t |
| 10 |
| 3t |
| 6 |
∴t=
| 10 |
| 7 |
②如图4，若∠QPD=90°，△PQD为直角三角形，
∴QP⊥BD，
∴PD2=PQ2=DQ2，
∵P点的运动速度为2cm/秒，Q点的运动速度为3cm/秒，
∴BP=2t，CD+CQ=3t，
∵CD=6cm，BD=10cm，BC=8cm，
∴DP=10-2t，BQ=14-3t，CQ=3t-6，
∵∠C=90°，PQ⊥BD，
∴PD2=（10-2t）2=100-40t+4t2，
PQ2=BQ2-BP2=（14-3t）2-（2t）2=196-84t+5t2，
DQ2=CD2+CQ2=62+（3t-6）2=72+9t2-36t，
∵PD2=PQ2=DQ2，
∴100-40t+4t2+196-84t+5t2=72+9t2-36t，
解方程得：t=
| 29 |
| 11 |
∴当t=
| 10 |
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| 11 |
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G
