Question

如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．
（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．
（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？

Answer 1

（1）当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵AD=2AB=2CD，AM=DM=

1

2

AD，
∴AB=AM=DM=CD，
∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，
∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠MEP=∠FPE=90°，
∴四边形PEMF为矩形，
即当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．

（2）当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．
理由是：∵四边形PEMF为矩形，
∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°，
在△BFP和△CEP中

∠FBP=∠ECP ∠PFB=∠PEC BP=CP

，
∴△BFP≌△CEP（AAS），
∴PE=PF，
∵四边形PEMF是矩形，
∴矩形PEMF是正方形，
即当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．