题目内容
如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的点，且AP=AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若AC=3，求PD的长．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若AC=3，求PD的长．
（1）证明：连接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
∵OA=OC，
∴∠ACP=∠CAO=30°，
∴∠AOP=60°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=90°，
即OA⊥AP，
∵点O在⊙O上，
∴AP是⊙O的切线．
（2）连接AD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=90°，
∴AD=AC?tan30°=
，CD=2AD=2
，
∴DO=AO=
CD=
，
在Rt△PAO中，由勾股定理得：PA2+AO2=PO2，
∴32+（
）2=（PD+
）2，
∵PD的值为正数，
∴PD=
．
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
∵OA=OC，
∴∠ACP=∠CAO=30°，
∴∠AOP=60°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=90°，
即OA⊥AP，
∵点O在⊙O上，
∴AP是⊙O的切线．
（2）连接AD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=90°，
∴AD=AC?tan30°=
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∴DO=AO=
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在Rt△PAO中，由勾股定理得：PA2+AO2=PO2，
∴32+（
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∵PD的值为正数，
∴PD=
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