Question

【题目】如图①，已知直线l1、l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线l3上有动点P（点P与点C、D不重合），点A在直线l1上，点B在直线l2上．

（1）如果点P在C、D之间运动时，且满足∠1+∠3＝∠2，请写出l1与l2之间的位置关系 ；

（2）如图②如果l1∥l2，点P在直线l1的上方运动时，试猜想∠1+∠2与∠3之间关系并给予证明；

（3）如果l1∥l2，点P在直线l2的下方运动时，请直接写出∠PAC、∠PBD、∠APB之间的关系．

Answer 1

【答案】（1）l1∥l2；（2）∠1+∠2＝∠3；理由见解析；（3）∠APB+∠PBD＝∠PAC．

【解析】

（1）延长BP交AC于E，则∠2为△APE的外角，所以∠2＝∠1+∠AEP，又因为∠2＝∠1+∠3，等量代换∠3＝∠AEP，根据内错角相等两直线平行，可知l1∥l2，（2）同（1）利用三角形的外角性质及平行线的性质可得∠1+∠2＝∠3，（3）过点P作PF∥l1，根据平行于同一条直线的两直线平行，可得PF∥l2，再由平行线的性质进而可得∠APB+∠PBD＝∠PAC．

证明：（1）l1∥l2.理由如下，

如图①，延长BP交AC于E，

∵∠2＝∠1+∠3，∠2＝∠1+∠AEP，

∴∠3＝∠AEP，

∴l1∥l2，

故答案为：l1∥l2.

（2）如图②所示，当点P在线段DC的延长线上时，∠1+∠2＝∠3，

理由是：∵l1∥l2，

∴∠CEP＝∠3

∵∠CEP＝∠1+∠2，

∴∠1+∠2＝∠3.

（3）如图③所示，当点P在直线l2的下方运动时，∠APB+∠PBD＝∠PAC．

理由：过点P作PF∥l1，

∠FPA＝∠1．

∵l1∥l2，

∴PF∥l2，

∴∠FPB＝∠3，

∴∠FPA＝∠2+∠FPB＝∠2+∠3.

即∠APB+∠PBD＝∠PAC．