Question

如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S₁、S₂、S₃、S₄，给出如下结论：
①S₁+S₂=S₃+S₄              ② S₂+S₄= S₁+ S₃ 
③若S₃="2" S₁，则S₄="2" S₂     ④若S₁= S₂，则P点在矩形的对角线上

其中正确的结论的序号是    ▲   （把所有正确结论的序号都填在横线上）.

Answer 1

②④。

矩形的性质，相似
如图，过点P分别作四个三角形的高，

∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，
∴此时两三角形的高的和为AB，
∴S₁+S₃=S_矩形ABCD；
同理可得出S₂+S₄=S_矩形ABCD。
∴②S₂+S₄= S₁+ S₃正确，则①S₁+S₂=S₃+S₄错误。
若S₃="2" S₁，只能得出△APD与△PBC高度之比，S₄不一定等于2S₂；故结论③错误。
如图，若S₁=S₂，则×PF×AD=×PE×AB，

∴△APD与△PBA高度之比为：PF：PE =AB：AD 。
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF是矩形，
∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。
∴PF：CD ="PE" ：BC=AP：AC，
即PF：CD ="AF" ：AD=AP：AC。
∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P点在矩形的对角线上。
故结论④正确。
综上所述，结论②和④正确。